i align="justify " > S
.
Теорема 1. Якщо векторна функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околиці точки М, то існує межа
.
(без доведення).
Відзначимо, що ця межа не залежить від способу стягування контуру в точку М, а залежить тільки від положення точки та орієнтації площини Р в просторі.
Визначення 2. Ротором векторного поля називається вектор, проекція якого на напрям орта дорівнює межі
.
Ротор описує обертальні властивості векторного поля. При зміні напрямку орта значення проекції змінюється. Це визначення відрізняється від того, яке було дано в попередньому розділі. Насправді еквівалентність обох визначень випливає з наступної теореми.
Теорема 2. Якщо векторна функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околиці точки М, то в декартовій прямокутній системі координат ротор цієї функції визначається формулою
.
(без доведення).
Наведене в цьому параграфі визначення ротора є більш загальним і не залежить від вибору системи координат.
. Теорема Гаусса-Остроградського
Розглянемо кілька теорем, що пов'язують криволінійні, поверхневі і потрійні інтеграли.
Теорема 1 (Гауса-Остроградського). Потік векторного поля через поверхню S, що обмежує область V, дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції векторного поля
.
Доказ. Розіб'ємо всю область інтегрування на маленькі паралелепіпеди
За визначенням дивергенції
.
Складемо записані вирази для всіх елементів розбиття
.
Для сусідніх елементів потоки взаємно скорочуються
Після складання залишаться тільки потоки через зовнішню, що обмежує тіло поверхню. Здійснюючи граничний перехід, отримаємо
.
У розгорнутій формі ця теорема приймає вид
.
Ця теорема є узагальненням використовуваної в електростатики теореми Гаусса. Покажемо, що права частина записаної формули визначає електричний заряд, укладений в обсязі, обмеженому заданої поверхнею. У електростатики ми довели теорему Гаусса для напруженості електричного поля
.
Використовуючи теорему Гаусса-Остроградського, можна записати
.
Звідси випливає рівняння, що зв'язує напруженість електричного поля з щільністю зарядів, що створюють це поле
.
Це одне з основних рівнянь електростатики.
Приклад 1. Обчислити потік векторного поля через поверхню циліндра,. Поверхня розташована в першому Октант.
Рішення. Зробимо малюнок і наведемо два рішення цього завдання: безпосереднє обчислення потоку і використання теор...
