чці, і спрямований від кінця до кінця.
Властивості лінійних операцій.
.
.
.
.
.
Визначення. Результат кінцевого числа лінійних операцій над векторами називається їхньою лінійною комбінацією :, - лінійна комбінація векторів з коефіцієнтами.
Приклад. Нехай М - точка перетину медіан трикутника АВС, а О - довільна точка простору. Представити як лінійну комбінацію
(рис. 6).
.
Так як точка перетину медіан трикутника ділить їх у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, то з правила паралелограма випливає, що.
За правилом трикутника, тобто - лінійна комбінація з коефіцієнтами
Теорема 1. Нехай і - неколінеарна вектори. Тоді будь компланарності з ними вектор може бути представлений у вигляді
,, (2.1) де коефіцієнти (2.1) визначаються єдиним чином.
Подання вектора у вигляді (2.1) називається розкладанням його за двома неколінеарна векторах.
Теорема 2. Нехай - некомпланарних вектори. Тоді будь-який вектор може бути представлений у вигляді
,, (2.2) причому єдиним чином.
Подання вектора у вигляді (2.2) називається розкладанням його за трьома некомпланарних.
Проекція вектора на вісь.
Координати вектора.
Визначення. Віссю називається спрямована пряма.
Визначення. Ортом осі називається одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком осі.
Визначення. Ортогональною проекцією точки М на вісь називається підстава М1 перпендикуляра, опущеного з М на.
Визначення. Ортогональною проекцією вектора на вісь називається довжина відрізка А1В1 цієї осі, укладеного між ортогональними проекціями його початку і кінця, взята зі знаком «+», якщо напрямок вектора збігається з напрямком осі, і зі знаком «-», якщо ці напрямки протилежні (рис. 8).
Визначення. Кутом між вектором і віссю називається кут, на який потрібно повернути в позитивному напрямку вісь до збігу її напрямки з напрямком вектора (позитивним вважається поворот проти годинникової стрілки). (рис. 8).
Очевидно, проекцію вектора на вісь можна знайти за формулою
Можна показати, що проекція лінійної комбінації векторів дорівнює такій же лінійної комбінації їх проекцій:
.
Зокрема, проекція суми векторів дорівнює сумі їх проекцій:
.
Розглянемо прямокутну декартову систему координат ХОY. Позначимо - орт осі ОХ, - орт осі OY. Виберемо точку, і нехай - проекції її на ОХ і OY, тобто координати цієї точки (рис. 9).
- радіус-вектор точки і
, але
Аналогічно - розкладання по ортам координатних осей (розкладання єдино по теоремі 1).
Аналогічно в просторовій системі OXYZ - орти координатних осей) (рис. 10):
- розкладання по ортам координатних осей (єдино по теоремі 2).
Таким чином, якщо задана прямокутна декартова система координат (ПДСК), то з усяким просторовим вектором можна зв'язати три числа (або два числа, якщо вектор плоский), які є коефіцієнтами розкладання цього вектора по ортам координатних осей, а також є проекціями цього вектора на координатні осі.
Визначення. Координатами вектора в будь ПДСК називаються коефіцієнти в розкладанні цього вектора по ортам координатних осей.
Таким чином, можна дати ще одне визначення вектора.
Визначення. Вектором називається впорядкована трійка чисел (впорядкована пара, якщо вектор плоский).
Приклад. Якщо, то=(2,3,4) і навпаки, якщо, то
Так як, з одного боку, вектор - об'єкт, що має довжину і напрямок, а з іншого, - упорядкована трійка чисел, то, знаючи довжину і напрямок, можна визначити його координати і навпаки. Напрям вектора в заданій системі координат характеризується його направляючими косинусами (рис. 11):
OZ).
Нехай
З цих формул очевидно слід основна властивість напрямних косинусів:
Якщо відомі довжина і напрямні косинуси вектора, то його координати обчислюються за формулами:
Нехай - довільний вектор в системі OXYZ, - радіус-вектори його початку і кінця,
, (рис.12).
Тоді:
(див. властивості лінійних операцій над векторами). Таким чином,, тобто для визначення координат вектора треба з координат його кінця відняти координати початку.
Визначення. Базисом в просторі називається будь впорядкована трійка некомпланарних векторів (рис. 13).
Якщо - базис, то - інший базис, так як змінився порядок проходження векторів.
Визначення. Базис називається прямокутним декартовим, якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні і довжина ...
