кожного дорівнює 1.
Такий базис прийнято позначати. ??
З теореми 2 випливає, що всякий вектор може бути розкладений по базису, тобто представлений у вигляді:. Числа називаються координатами в базисі.
Визначення. Базисом на площині називається будь впорядкована пара неколінеарних векторів.
Якщо - базис, то подання вектора у вигляді називається розкладанням по базису і - координати в цьому базисі.
Визначення. Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор цієї прямої.
Розподіл відрізка в даному відношенні.
Розглянемо задачу: дан відрізок. Знайти точку, яка ділить в заданому відношенні: (рис. 14).
Введемо прямокутну декартову систему координат (ПДСК) OXYZ, тоді
Позначимо
Так як (лежать на одній прямій) і, то Переходячи від цього векторної рівності до рівності відповідних координат, отримаємо:
(2.3)
Зауваження 1. Якщо - середина відрізка, то, тому
(2.4)
Зауваження 1. Якщо,, то точка лежить за межами: так як, то при
У цьому випадку
Нехай (рис. 15).
Скалярний добуток векторів
Визначення. Скалярним добутком векторів і називається скаляр (число), рівний
Скалярний добуток позначається так: або.
Так як (рис. 16) або,
то.
Властивості скалярного добутку
1.- Очевидно з визначення.
.
.
..
Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів є рівність нулю їх скалярного добутку:
.
Приклад. Знайти, при якому значенні вектори перпендикулярні.
Два вектора перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю (властивість 5), тому знайдемо скалярний добуток за формулою (2.5):
Приклад. Знайти кут між бісектрисою і медіаною AM? ABC, якщо
Так як, то. (2.6)
Знайдемо координати векторів і. Точка - середина, тому за формулами (2.4).
По теоремі про бісектрисі внутрішнього кута трикутника. Щоб знайти, обчислимо довжини і:
Розділимо відрізок в даному відношенні за формулами (2.3):
,
звідси.
Зауважимо, що. Це зауваження дозволить нам не мати справу з дробом, так як
Приклад. Знайти, якщо
Скористаємося властивостями 1-4 скалярного твори:
.
Звідси
Зауваження. Так як робота сили по переміщенню матеріальної точки вздовж вектора обчислюється за формулою, то.
Векторний добуток векторів
Визначення. Трійка некомпланарних векторів, що мають спільний початок, називається правої (лівої), якщо з кінця третього вектора обертання першого вектора до другого вектору по найкоротшому шляху спостерігається проти (по) годинникової стрілки (рис. 17).
- ліва трійка,
- права трійка,
- ліва трійка.
- права трійка (рис. 18).
Визначення. Векторним твором вектора на вектор називається вектор, що задовольняє умовам:
. (Перпендикулярний площині векторів і).
. Напрямок таке, що трійка - права.
..
Векторний добуток позначається так: або.
Зауваження. Геометричний зміст векторного добутку: довжина векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах.
.
Це випливає з того, що площа паралелограма дорівнює добутку довжин суміжних сторін на синус кута між ними.
Зауважимо, що
Таким чином, довжину вектора векторного твори можна обчислити за допомогою скалярного добутку за формулою
. (2.7)
Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах.
За формулою (2.7):
Зауваження 2. Напрям вектора можна також (крім п.2) визначити за правилом гвинта: напрямок вектора збігається з напрямком поступального руху гвинта в правій різьбленням при обертанні його в бік повороту перший вектора до другого вектору по найкоротшому шляху (рис. 19 ).
Властивості векторного добутку.
.
..
.- Властивість лінійності векторного твори по першого співмножники (без доведення).
Векторний добуток також лінійно і по другому співмножником.
Використовуючи визначення і властивості 1 і 2, складемо таблицю обчислення векторного добутку базисних векторів: вектори, що стоять у лівій колонці, множаться на відповідні вектори верхнього рядка (рис. 20).
Нехай в деякій ПДСК. Знайдемо векторний добуток цих векторів:
Зауважимо, що цей в...
