(-1) * (-2) +2 * (-1) * 1] = [8 +4-1] - [4 +4-2] = 11-6 = 5,
т. е. О” в‰ 0. p> Т. е. система визначена і залагодити. Вирішимо її за методом Гаусса. p> Проведемо прямий хід методу Гаусса, виписавши попередньо розширену матрицю системи:
В
Отримаємо нулі під головною діагоналлю в першому стовпці розширеної матриці. Для отримання нуля в елементі a21 (тобто під діагоналлю в другому рядку матриці) другий рядок матриці перетворимо за формулою C 2 - (a 21 /a 11 ) * C 1 = C 2 - (2/1) * C 1 = C 2 -2 * C 1
В
Аналогічно чинимо і з елементом а31 (тобто під діагоналлю в третьому рядку матриці). Третій рядок матриці перетворимо за формулою C 3 - (a 31 /a 11 ) * C 1 = C 3 - (-1/1) * C 1 = C 3 + C 1 : В
Таким чином, ми отримали нулі під головною діагоналлю в першому стовпці розширеної матриці. Залишилося отримати нуль під головною діагоналлю в другому стовпці матриці, тобто на місці елемента А32. Для цього третій рядок матриці перетворимо за формулою C 3 - (a 32 /a 22 ) * C 2 = C 3 - (1/-2) * C 2 = C 3 +1/2C 2 :
В
Таким чином, провівши прямий хід методу Гауса , ми отримали розширену матрицю системи, приведену до верхньо-трикутного вигляду:
В
Ця матриця еквівалентна системі:
В
Зворотним ходом методу Гауса знайдемо корені системи. З останнього рівняння знайдемо корінь х 3 :
-5/2x 3 = 3/2,
x 3 = (3/2): (-5/2) = 3/2 * (-2/5) = -3/5. p> Корінь x 3 = -3/5 знайдений. Підставимо його у верхнє (друге) рівняння системи (-2x 2 -3x 3 = 1):
-2x 2 -3 (-3/5) = 1,
-2x 2 +9/5 = +1, p>-2x 2 = 1-9/5,
-2x 2 = -4/5,
x 2 = (-4/5): (-2) = (-4/5) * (-1/2) = 2/5. p> Корінь x 2 = 2/5 знайдений. Підставимо його і корінь х 3 у верхнє (перше) рівняння системи (x 1 -x 2 + x 3 = 0):
x 1 -2/5 + (-3/5) = 0,
x 1 -5/5 = 0,
x 1 = 5/5 = 1. p> Перевірка:
В
т. е.
В
т. е.
В
і т. д.
Висновок.
Отже, метод Гауса (або, інакше, метод послідовного виключення невідомих) полягає в наступному:
1. Шляхом елементарних перетворень систему рівнянь приводять до еквівалентної їй системою з верхньо-трикутною матрицею. Ці дії називають прямим ходом. p> 2. З отриманої трикутної системи змінні знаходять за допомогою послідовних підстановок (зворотний хід).
3. При цьому всі перетворення проводяться над так званою розширеною матрицею системи, яку і призводять до верхнє - трикутного вигляду в прямому ході методу.
В
Ітерація для лінійних систем.
Спосіб ітерацій дає можливість отримати послідовність наближених значень, що сходяться до точного рішення системи, подібно до того, як це робиться для одного рівняння.
Для визначеності обмежимося системою з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими (система четвертого порядку), яку запишемо у вигляді:
В
дозволено перший рівняння системи відносно х 1 :
х 1 =
Потім дозволимо друге рівняння відносно х 2 і т. д. Тоді систему можна переписати у вигляді:
В
де О± =-a ik /a ii , i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5. p> Система є окремим випадком запису виду:
В
При цьому лінійна функція L 1 фактично не залежить від х 1 .
Задамо будь-які початкові значення невідомих (нульові наближення):
х 1 (0) , х 2 (0) , х 3 (0) , х 4 < sup> (0) .
Підставляючи ці значення в праві частини системи (*), отримаємо перші наближення:
В
Отримані перші наближення можуть бути так само використані для отримання других, третіх і т. д. наближень. Т. е. можна записати:
В
Умови збіжності ітераційного процесу.
Встановимо умови, виконання яких забезпечить збіжність які утворюються наближень до істинному (точного) рішенням системи х 1 , х 2 , х 3 , х 4 .
Не вдаючись у подробиці, скажемо, що для того щоб ітераційний процес сходився до точного рішенням, достатньо, щоб всі коефіцієнти системи були малі порівняно з діагональними.
Ця умова можна сформулювати і більш точно:
Для збіжності процесу ітерацій достатньо, щоб у кожному стовпці сума відносин коефіцієнтів системи до діагональ...
