ним елементам, узятим з того ж рядка, була строго менше одиниці : В
Ітерація Якобі.
Розглянемо систему лінійних рівнянь:
В
Рівняння можна записати у вигляді:
В
Це дозволяє запропонувати наступний ітераційний процес:
В
або (інший вид записи)
В
Покажемо, що якщо почати з точки P 0 = (х 1 (0) , х 2 (0) , х 3 (0) , х 4 (0) ) = (1, 2, 2), то ітерація (3) сходиться до вирішення (2, 4, 3). Підставимо х 1 = 1, х 2 = 2, х 2 = 2 в праву частину кожного рівняння з (3), щоб отримати нові значення:
В
Нова точка P 1 = (Х 1 (1) , х 2 (1) , х3 (1) , х 4 (1) ) = (1.75, 3.375, 3), ближче, ніж P 0 .
Ітерація, використовує (3), генерує послідовність точок {P k }, яка сходиться до вирішення (2, 4, 3):
k
х1 (k)
х2 (k)
х3 (k)
0
1.0
2.0
2.0
1
1.75
3.375
3.0
2
1.84375
3.875
3.025
3
1.9625
3.925
2.9625
4
1.990625
3.9765625
3.0
5
1.99414063
3.9953125
3.0009375
...
...
...
...
15
1.99999993
3.99999985
3.0009375
...
...
...
...
19
2.0
4.0
3.0
Цей процес називається итерацией Якобі і може використовуватися для вирішення певних типів лінійних систем.
Ітерація Гаусса-Зейделя.
Процес ітерації Якобі іноді можна модифікувати для прискорення збіжності. p> Зазначимо, що ітеративний процес Якобі виробляє три послідовності - {х 1 (k) }, {Х 2 (k) } {х 3 (k) } {х 4 (k) }. Здається розумним, що х 1 (k +1) може бути використано замість х 2 (k ). Аналогічно х 1 (k +1) і х 2 (k +1) можна використовувати в обчисленні х 3 (k +1) . Наприклад, для рівнянь з системи (1) цей дасть такий вигляд ітераційного процесу Гаусса-Зейделя, який використовує (3 *):
В
Такий ітераційний процес дасть результати:
k
х 1 (k)
х 2 (k)
х 3 (k)
0
1.0
2.0
2.0
1
1.75
3.75
2.95
2
1.95
3.96875
2.98625
3
1.995625
3.99609375
2.99903125
...
...
...
...
8
1.99999983
3.99999988
2.99999996
9
