не зроблено).
2. Обчислюють головний визначник системи:
В
3. Обчислюють всі додаткові визначники системи:
В
4. Якщо головний визначник системи не дорівнює нулю, те виконують пункт 5. Інакше розглядають питання про можливість розв'язання даної системи (має незліченну безліч рішень або не має рішень). Знаходять значення всіх невідомих по формулами Крамера для розв'язання системи n лінійних рівнянь з n невідомими, які мають вигляд:
В В
Приклад 1
Вирішити за методом Крамера систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:
В
Рішення
Запишемо головний і побічні визначники системи:
В
Обчислимо ці визначники:
О” = 3 * 4 * (-4) +7 * (-3) * 5 + (-2) * (-8) * 5-5 * 4 * 5-3 * (-3) * (-8) -7 * (-2) * (-4) = 48-105 +80-100-72-56 = 128-333 = -205. p> О”1 = -112 + (-45) + (-192) - (-240) -24-168 = -112-45-192 +240-24-168 = 240-541 = -301. p> О”2 = -36-420-280-75 +196-288 = 196-1099 = -903. p> О”3 = -144-147-30-140 +27-168 = -629 +27 = -602. p> Головний визначник системи не дорівнює нулю. Знаходимо невідомі за формулами Крамера. p> Підставами знайдені значення визначників у формули Крамера:
x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;
x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;
x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = +2,936585365854 ≈ 2,93. br/>
Висновок.
При вирішенні систем лінійних рівнянь за методом Крамера використовуються формули, в яких беруть участь як головний, так і додаткові визначники системи:
В
Нагадаємо, що головним визначником системи називається визначник головною матриці системи, складеної з коефіцієнтів при невідомих:
В
Якщо в головному визначнику системи замінити по черзі стовпці коефіцієнтів при x 1 , x 2 , ... x n на стовпець вільних членів, то отримаємо n додаткових визначників (для кожного з n невідомих):
В
При цьому важливий питання про можливість розв'язання даної системи, який вирішується порівнянням головного і додаткових визначників системи з нулем
В
Метод Гаусса - прямий і зворотний хід.
Розглянемо метод Гаусса. Наприклад, нехай дана розширена матриця деякої системи m лінійних рівнянь cn невідомими:
В
Будемо вважати, що a 11 в‰ 0 (якщо це не так, то достатньо переставити першу і деяку іншу рядок розширеної матриці місцями). Проведемо наступні елементарні перетворення:
C 2 - (a 21 /a 11 ) * C 1 ,
...
C m - (a m1 /a 11 ) * C 1 ,
тобто Ci-(a i1 /a 11 ) * C 1 , i = 2, 3, ..., M. p> Т. е. від кожної рядка розширеної матриці (крім першої) віднімаємо перший рядок, помножену на частка від ділення першого елемента цього рядка на діагональний елемент а 11 .
У результаті отримаємо матрицю:
В
Т. е. перша рядок залишилася без змін, а в стовпці під а 1 1 на всіх місцях виявилися нулі. Звернемо увагу, що перетворення торкнулися всіх елементів рядків, починаючи з другої, всієї розширеної матриці системи.
Тепер наша завдання полягає в тому, щоб отримати нулі піді усіма діагональними елементами матриці А - a ij , де I = j.
Повторимо наші елементарні перетворення, але вже для елемента О± 22 . p> C 1 - (a 12 /О± 22 ) * C 2
...
C m - (О± m2 /О± 22 ) * C 2 ,
тобто C i - (О± i2 /О± 22 ) * C 2 , i = 3, ..., m.
Т. е. від кожної рядка розширеної матриці (тепер крім першої та другої) віднімаємо другу рядок, помножену на частку від ділення першого елемента цієї (поточної) рядки на діагональний елемент О± 22 .
Такі перетворення продовжуються до тих пір, поки матриця не призведе до верхнє - трикутникове увазі. Т. е. під головною діагоналлю не опиняться всі нулі:
В
Згадавши, що кожен рядок являє собою одне з рівнянь лінійної системи рівнянь, легко помітити, що останнім m-е рівняння приймає вигляд:
Оі mn * x n = О” m . p> Звідси легко можна знайти значення першого кореня - x n = Оґ m /Оі mn .
Підставивши це значення в попереднє m-1-е рівняння, легко отримаємо значення x n-1 -ого кореня.
Таким чином, піднімаючись до самого верху зворотним ходом методу Гауса, ми послідовно знайдемо всі корені системи рівнянь.
В
Приклад 1
Розглянемо систему рівнянь:
В
Головний визначник даної системи
В
О” = [1 * (-4) * (-2) +2 * 2 * 1 + (-1) * (-1) * (-1)] - [1 * (-4) * (-1) +2 * ...
