ючи залежність (10) і формули Літтла, можна обчислити середні значення інших характеристик.
Визначення меж. При значеннях 0? <1 для оцінки характеристик використовується кілька різних підходів визначення верхньої та нижньої меж, в межах яких знаходиться істинне значення тієї чи іншої характеристики. Наприклад, для системи G/G/1 наводяться такі формули розрахунку кордонів середнього часу очікування заявки в черзі:
(24)
де v, - коефіцієнти варіації періодів надходження і тривалостей обслуговування заявок відповідно.
Середня довжина черги, та середнє число заявок в системі.
Дискретне і безперервне наближення. Інші методи оцінки орієнтовані не на пошук наближеного рішення вихідної задачі, а на точне рішення спрощено сформульованої задачі. Рівняння, що описують роботу системи G/G/1, навмисно перетворюються до такого виду, при якому отримана система рівнянь може бути вирішена. p> У теорії масового обслуговування показано, що якщо вихідні величини є дискретними, можна визначити точний розподіл часу очікування. На цьому грунтується метод дискретного наближення, при якому проміжки часу між моментами надходження заявок і тривалості обслуговування апроксимуються дискретними розподілами. p> Для дослідження нестаціонарних систем і режимів перевантаження виявляється корисним метод безперервного наближення. Процеси надходження та догляду заявок - це ступінчасті імовірнісні процеси (рис. 3). Але коли довжини черг значно більше одиниці, а часи очікування істотно більше середнього часу обслуговування, стає розумною заміна цих східчастих процесів згладженими безперервними функціями часу, оскільки величини окремих сходинок малі порівняно з середніми значеннями (рис. 6). p> Коли Х (t) стає значно більше одиниці, на підставі закону великих чисел можна чекати лише невеликого відносного відхилення цієї величини від її середнього значення
В
Рис. 6. Тимчасова діаграма процесів надходження та догляду заявок з безперервною апроксимацією залежностей кількості заявок від часу М [х (t)] = На цьому грунтується наближення першого порядку, яке полягає в заміні імовірнісного процесу його середнім значенням, залежних від часу , тобто детермінованим процесом. Це відноситься і до процесу догляду заявок . Тоді число заявок в системі теж являє собою детерміновану безперервну функцію часу:
(23)
Функції і визначаються з залежностей:
(36)
(37)
-число надійшли і залишили систему заявок до нульового моменту часу.
Дифузійна апроксимація. Безперервне наближення є досить грубим, оскільки не враховує випадковий характер процесів надходження та догляду заявок. За методом дифузійної апроксимації безперервне наближення вдосконалюється шляхом врахування флуктуацій щодо середнього значення. З цією метою випадковий процес (23) замінюється марковским процесом дифузійного типу ? ( t ) з безперервним часом і безперервним безліччю станів. Дифузійний процес визначається коефіцієнтом знесення
і коефіцієнтом дифузії
В
Ці коефіцієнти виражаються через параметри вихідної моделі. Для системи G/G/1 вважається, що при великих t розподілення Х ( t) є наближено нормальним з математичним очікуванням і дисперсією та розподілення Y ( t ) теж наближено нормальне з математичним очікуванням і дисперсією . Тоді коефіцієнт зносу
(38)
і коефіцієнт дифузії
(39)
У зв'язку з тим, що процес п (t) не може приймати від'ємних значень, для аппроксимирующего процесу ? ( t) задається граничне умова, яке утримує його траєкторію на неотрицательной півосі. Наприклад, при досягненні ? ( t) = 0 відбувається стрибок у цілочисельні точки позитивної півосі, виконуваний з заданим розподілом ймовірностей після експоненційної затримки в нулі.
Застосування дифузійної апроксимації дає можливість отримання оцінок різних характеристик СМО. Зокрема, для системи G/G/1 середня довжина черги в стаціонарному режимі визначається за формулою
(40)
при постійних коефіцієнтах зносу і дифузії, відповідних нагоди незалежних від довжини черги імовірнісних характеристик надходження та обслуговування заявок.
Контрольні запитання
Одноканальна СМО для опису НД
Я...
