кілограм-цельсий. Отже, питому теплоємність можна розглядати як теплоємність одиниці маси речовини. На значення питомої теплоємності впливає температура речовини.
У більшості випадків значення w,?, С і Т потоків теплоносіїв такі, що в напрямку руху конвективний перенос переважає над теплопровідністю. Однак при малих швидкостях течії високо теплопровідні рідин (розплавів металів) може спостерігатися зворотне співвідношення.
У міру наближення до твердої поверхні, де швидкість в'язких рідин прагне до нуля, qт і qk також стають порівнянні по величинам. При ламінарному режимі течії в напрямку, поперечному руху, конвективний перенос відсутній.
3. Математична постановка задачі
. 1 Узагальнена математична постановка задачі
Застосування першого закону термодинаміки до нескінченно малому контрольному обсягом у твердому тілі або в нерухомому середовищі призводить до відомого рівняння теплопровідності [1].
позначилося три просторові змінні через декартові координати х, у, z і час через t, можемо записати рівняння теплопровідності у вигляді
де?- Щільність, з - питома теплоємність.
У цьому рівнянні величини?, с, k можуть залежати від х, у, z, t і бути функціями температури Т.
Рівняння теплопровідності є прямим наслідком закону збереження, представленого перший законом термодинаміки, і пропорційності щільності потоку градієнту температури. Існує безліч інших фізичних процесів, при яких відповідна щільність потоку деякої величини пропорційна градієнту цієї величини і для яких існує закон збереження. Звідси випливає, що ці процеси будуть описуватися диференціальнимирівняннями, аналогічними (3.1).
До подібних процесів можна віднести дифузію хімічних компонент, рух заряджених частинок в електромагнітному полі, течія в пористих матеріалах, потенційні течії, перенесення тепла і вологи в грунті, а також повністю розвинені перебіг і теплообмін у каналах. Побудувавши обчислювальну процедуру для вирішення рівняння (3.1), ми зможемо застосувати її й для будь-якого аналогічного процесу, просто надаючи новий сенс величинам Т, k та ін. Наприклад, можна інтерпретувати Т як концентрацію, k як коефіцієнт дифузії і т.п. Зручніше працювати з таким узагальненим диференціальним рівнянням, оскільки рівняння теплопровідності та інші аналогічні рівняння стануть його окремими випадками. Надалі будемо грунтуватися на подібному узагальненому диференціальному рівнянні [2].
3.2 Диференціальне рівняння для узагальненої змінної
Позначимо через? залежну змінну в узагальненому диференціальному рівнянні. Градієнт? призводить до відповідного диффузионному потоку. Таким чином, щільність дифузійного потоку Jx в напрямку х задається у вигляді:
де Г - узагальнений коефіцієнт дифузії.
Узагальнене диференціальне рівняння, що представляє закон збереження для?, може бути записано у вигляді
де?- Величина, подібна об'ємної теплоємності.
Порівнюючи рівняння теплопровідності (2.1) з узагальненим диференціальним рівнянням (2.3), укладаємо, що для того щоб узагальнене рівняння описувало процес теплопровідності, потрібно зробити наступну заміну:? =Т,? =? с, Г=k,
У загальному випадку для значення? існують відповідні значення величин?, Г. В простого завдання ці величини можуть бути постійними, але в загальному випадку немає нічого незвичайного в тому, що вони залежать від просторових координат і часу, а також від самої змінної?.
Узагальнене диференціальне рівняння (2.3) записано в декартовій системі координат. Більш компактно воно може бути записано:
де застосовано угоду про підсумовуванні по повторюваному індексом. Наприклад, для тривимірного випадку можна записати
тут х1, х2 і х3 - декартові координати (х, у і z) за трьома напрямками. Будемо називати три члени рівняння (2.5) нестаціонарним, дифузійним і джерельну членом відповідно.
У більш загальному вигляді вираз для щільності дифузійного потоку (2.2) може бути записано таким чином [3]:
де Ji - щільність дифузійного потоку в напрямку координати хi.
Дифузійний член в (2.5) зручно представити у вигляді:
Для двовимірної задачі, сформульованої в полярних системах координат, вираз для буде мати вигляд:
Густині потоків співвідносяться з градієнтом? наступним чином:
Рівняння для стаціонарного повільної течії в каналі записується у вигляді
де ср - питома теплоємність при постійному тиску; k -...
