теплопровідність рідини. Ліва частина (2.10) відповідає конвективному переносу в каналі, а члени правій частині описують теплопровідність в рідині. Оскільки зазвичай перенесення тепла уздовж осі z дуже малий у порівнянні з перенесенням в поперечному його перетині, то останнім членом у рівнянні (2.10) можна знехтувати.
При простому повністю розвиненому перебігу в каналі поперечні швидкості і і v дорівнюють нулю, тому (2.10) спрощується і приймає вигляд
Рівняння (2.11) відповідає стаціонарній формі узагальненого диференціального рівняння при наступній заміні:
4. Методи рішення
. 1 Вибір методу рішення
Відомі [16] кілька основних типів чисельних методів, застосовуваних для вирішення рівнянь теплопровідності:
Метод кінцевих різниць;
Метод контрольного об'єму;
Метод кінцевих елементів.
Отримати аналітичне рішення рівнянь описують явища гідродинаміки, як правило, не представляється можливим. У зв'язку з цим використовуються чисельні методи. Всі методи включають два етапи.
На першому етапі всі диференціальні рівняння зводяться до алгебраїчних рівнянь щодо значень шуканих змінних (швидкості, тиску, температури тощо) в кінцевому числі точок у межах області рішення. Цей етап називають дискретизацією рівнянь
На другому етапі проводиться рішення алгебраїчних виразів за допомогою відповідного чисельного методу.
Різні типи чисельних методів обчислювальної гідродинаміки використовують свої способи дискретизації основних рівнянь.
Кожен з згадуваних вище чисельних методів має свої переваги і недоліки. Перевагами методу контрольних обсягів є:
· Простота застосування до розрахункових областям довільної форми
· Наявність відпрацьованих алгоритмів
· Помилка дискретизації падає з ростом числа вершин
· Основна увага приділяється балансу потоків через контрольні обсяги
· Автоматичне виконання законів збереження
Граничні умови
Для чисельного моделювання потрібно завдання значень залежних змінних або їх нормальних градієнтів на кордонах розрахункової області. Граничні умови для нашої задачі були визначені при постановці завдання.
Рішення дискретних аналогів рівнянь не може бути отримано, якщо граничні умови не задані. Граничні умови діляться на два типи - з відомими значення на кордоні (задача Діріхле) і відомими нормальними градієнтами на кордоні (задача Неймана).
Початкові умови
Для нестаціонарних задач перед початком розрахунку необхідно задати значення всіх шуканих змінних у всій області потоку в початковий момент часу.
Джерела помилок
У загальному випадку існує три основних першопричини помилок:
· Допущення, прийняті при побудові математичної моделі
· Апроксимації при дискретизації рівнянь
· Відсутність збіжності в процесі вирішення
Про прийнятих допущених говорилося раніше - вони пов'язані з неточним описом реальних фізичних явищ використовуваними рівняннями. До цієї ж категорії можна віднести апроксимацію геометрії та граничних і початкових умов.
Помилки дискретизації є результатом застосування апроксимуючих співвідношень для розрахунків потоків через грані осередків і джерельних членів в межах осередків.
Під відсутністю збіжності в даному випадку мається на увазі неможливість отримання рішення дискретних алгебраїчних рівнянь з бажаною точністю. (Прагнення чисельного рішення до точного при послідовному подрібненні сітки також часто називається збіжністю).
рідина математичний температура цифровий
4.2 Методи рішення диференціальних рівнянь
Для розв'язання задач математичної фізики, що не піддаються аналітичним рішенням, використовують чисельні методи, що дозволяють апроксимувати вихідні диференціальні рівняння. Розвиток ЕОМ призвело до появи різних чисельних методів розв'язання рівнянь математичної фізики. Крім того, за час розвитку обчислювальних методів намітилася їх спеціалізація по галузях додатки. Так, наприклад, при моделюванні глобальних атмосферних процесів і при вирішенні акустичних завдань віддається перевага спектральним методам; методи скінченних елементів застосовуються зараз, в основному, для вирішення задач механіки суцільного середовища. Для вирішення проблем теплообміну і механіки рідини і газу вик...
