астрономії, картографії, навігації, віщій геодезії, крісталографії, фотограмметрії та при розвязанні різноманітніх геометричних задач у ряді других дисциплін.
2. Сферична трігонометрія
Сферичність трігонометрія - розділ трігонометрії, в якому вівчається залежність между величинами кутів и довжина сторон трікутніків, а такоже алгебраїчнімі тотожня трігомонетрічніх функцій відносно Сферичність трікутніків. Застосовується для вирішенню різніх геодезичних та астрономічніх завдань.
Нехай А, В, С -куті и а, b, с - протілежні Їм Сторони Сферичність трикутника ABC (рис.10). Кути и Сторони Сферичність трикутника пов язані наступніні Сферичність формулами. Сферична трігонометрія:
а=cos b cos з + sin b sin з cos А, A=-cos B cos С + sin B sin З cos a, a cos B=cos b sin c -sin b cos з cos А, А cosb=cos B sin C + sin B cos З cosa;
У ціх формулах сторона А, b, з відповіднімі центральними кутамі.
Для прямокутній Сферичність трікутніків (А=90`, а - гіпотенуза, b, с- катетів) формули сферічної трігонометрії спрощена, Наприклад:
b=sin a sin В, a=cos b cos c, a cos B=cos b sin c.
Формули сферічної трігонометрії дозволяють за будь-Якими трьома елементами Сферичність трикутника візнчіті ТРІ Інші (обчісліті трикутник).
Розглянуті елементи сферічної геометрії дають нам узагальнене уявлення про Дану область математичної науки.
2.1 Зв'язок между величинами сторон та кутів прямокутній Сферичність трикутника
а) Для звязку гіпотенузі та катетів маємо Сферичність формулу Піфагора:.
) Нехай Кожний Із катетів менше 90, тоді та додатні, но тоді и додатний, а того.
) Если Кожний Із катетів более 90, то и обидвоє відємні, а того додатній і.
) Если одна Із катетів более 90, а другий менше 90, то один косинус катета буде додатний, а другий - відємній, а того буде відємній і.
домовимось назіваті дві елєменти трикутника одноріднімі, если обидвоє смороду более або менше за 90, и різноріднімі у тому випадка, коли одна Із них більшій, а другий менший за 90. При Цій умові маємо Такі співвідношення между величинами катетів и гіпотенузі Сферичність трикутника:если катетів прямокутній Сферичність трикутника Однорідні, то гіпотенуза Менша зо 90; если ж катетів різнорідні, то гіпотенуза більша за 90.
б) Для звязку гіпотенузі з прилягла до неї кутамі маємо формулу. Проведемо аналіз цієї формули за аналогією проведеному АНАЛІЗУ формули та установимо следующие співвідношення между гіпотезою та прилягла до неї кутамі: если прілеглі до гіпотенузі куті Однорідні, то гіпотенуза меша за 90.
в) Для звязку одного катета та двох кутів, что прілягають до гіпотенузі, маємо співвідношення:; всегда додатній у незалежності від того, тупий чи Гострий кут, а тому знак буде такий же як у. Завжди віпліває, что довільній катет Сферичність трикутника и протилежних Йому кут зажди Однорідні.
г) Одержані співвідношення между величинами сторон и кутів прямокутній Сферичність трикутника допоможуть у подалі, при візначенні елементів прямокутній трикутника за їх синусами, вібіраті, Пожалуйста Із двох значень елемента є дійснім.
.2 Сума кутів Сферичність трикутника
Теорема. У будь-якому Сферичність трикутнику Різниця суми двох будь-якіх кутів и третього всегда Менша двох прямих кутів.
Доведення. За властівостямі полярних трікутніків, маємо: a1 + b1 gt; c1, a1=180 ° -? А, b1=180 ° -? У c1=180 ° -? C Зробі в нерівності заміну, дістанемо: (180 ° -? A) + (180 ° -? B) gt; 180 ° -? C, aбо после Спрощення:
? A +? B-? C lt; 180 °, что ї треба Було довести.
Теорема 2. У будь-якому Сферичність трикутнику сума кутів всегда Менша 540 ° и більша від 180 °, тобто 180 ° lt;? A +? B +? C lt; 540 °.
Доведення. Розглянемо Сферичність трикутник АВС и Полярний відносно него трикутник А1В1С1. За теореми 6,4 Сума сторон (периметр) Сферичність трикутника всегда Менша за 360 ° и більша від нуля, у кожному Сферичність трикутнику 0 ° lt; а + b + с lt; 360 °, Для трикутника А1В1С1, полярного відносно трикутника АВС, вона теж справджується, запішемо подвійну нерівність, як две нерівності, а самє:
а1 + b1 + с1 lt; 360 °, (1)
а1 + b1 + с1 gt; 0 °. (2)
За властівостямі Сферичність полярних трікутніків маємо:
1=180 ° -? А, b1=180 ° -? У c1=180 ° -? C. (3)
Підставівші в нерівність (1) вместо a1, b1, c1 їх вирази через праві части рівностей (3), дістанемо: (180 ° -? А) + (180 ° -? В) + (180 ° -? C) lt; 360 °, або после Спрощення? A +? B +? C gt; 180 °.
Перша частина теореми доведено.
Виконаю таку саму підстановку виразів (3) у нерівність (2), маті...
