мемо: (180 ° -? А) + (180 ° -? В) + (180 ° -? C) gt; 0 °, або после Спрощення ? A +? B +? C lt; 540 °.
Теорему доведено.
Наслідок. Сума кутів у Сферичність трикутнику є величина змінна и всегда більша від 180 °, тобто? A +? B +? C=180 ° + ?.
Означення. Різниця? A +? B +? C - 180 ° =? между сумою Сферичність трикутника и сумою кутів трикутника назівається Сферичність надвішком трикутника. Зрозуміло, что 0 ° lt; ? ? 360 °.
Зауважімо, что у Сферичність трикутнику Поняття бісектрісі, медіані и висота, а такоже співвідношення между сторонами и кутамі мают такий Зміст, як и в трикутнику на площіні.
Зокрема мают місце Такі тверджень:
1. Проти рівніх сторон Сферичність трикутника лежати Рівні куті и навпаки.
. У будь-якому Сферичність трикутнику проти БІЛЬШОГО кута лежить більша сторона и навпаки.
. У рівнобедреному Сферичність трикутнику куті, что лежати проти рівніх сторон, Рівні.
. 3 Сферичність теорема косінусів
Розглянемо довільній Сферичність трикутник АВС. Сферична теорема косінусів аналогічна теоремі косінусів плоскою трігонометрії. Припустиме спочатку, что Кожна зі сторон b и з Сферичність трикутника АВС менше. Проведемо з точки А дотічні АМ и AN до сторон з і b и Знайдемо точки М и N Перетин ціх дотичності з продовженого радіусів ОВ и ОС (малий. 11); ЦІ точки Перетин існують, так як, за припущені, КОЖЕН з кутів АОС, АОВ менше. Тоді кут А дорівнює куту MAN, и для плоского трикутника MAN ЧИННОСТІ плоскою теореми косінусів отрімуємо MN 2=AN 2 + AM 2 - 2AN AM cosA. (1)
Рис. 11
З Іншого боці, куті ВОС, АОС та АОВ, Які є центральними кутамі великих Кіл сфери, что спіраються на дуги a, b, c, відповідно Рівні, і. Тому з трикутника OMN знаходімо MN 2=OM 2 + ON 2 - 2OM ON cos. (2) Порівнюючі (1) і (2), отрімуємо OM 2 + ON 2 - 2OM ON cos=AN 2 + AM 2 - 2AN AM cosA. (3) З прямокутній трикутника ОМА знаходімо, что OM 2 - AM 2=OA 2,,, (4) о з прямокутній трикутника ONA знаходімо, что ON 2 - AN 2=OA 2,,, (5)
У силу Першів формул (4) і (5) Рівність (3) можна переписати у виде 2OM ON cos=2OA 2 + 2AN AN AM cosA, тобто OM ON cos=OA 2 + AN AM cosA. (6) Розділівші (6) на твір OM ON, отрімаємо або, в силу інших и третіх рівностей (4) і (5), (7)
Если тепер сторона b более, А сторона з менше, Те продовжімо боці а і b нашого трикутника до Перетин в точці С laquo ;, діаметрально протілежній точці С (мал.32). Тоді в Сферичність трикутнику АВС боці АС и АВ, відповідно Рівні и з, менше, А кут ВАС, суміжній з кутом А, дорівнює p - А. Тому в силу формули (7) для трикутника АВС , Тобто, звідки отрімуємо формулу (7).
Рис. 12
Если, Нарешті, обідві Сторони b и з более, Те продовжімо боці b и з нашого трикутника до Перетин в точці А?, діаметрально протілежній точці А (рис.13). Тоді в Сферичність трикутнику А? НД боці СА? та ВА?, відповідно Рівні pr-b и pr-c, менше, А? ВА З дорівнює куту А. Тому в силу формули (7) для трикутника А НД, звідки безпосередно отрімуємо формулу (7).
Рис. 13
Формула (7) вісловлює Сферичність теорему косінусів, якові зазвічай формулюють у Наступний виде: косинус боці Сферичність трикутника дорівнює сумі твори косінусів двох других сторон и твори сінусів двох других сторон на косинус кута между ними. Замінюючі у Формулі (7) Позначення сторон а, b, з і кутів А, В, С у круговому порядку, одержуємо две аналогічні формули (8) і (9)
. 4 Сферичність теорема сінусів
Доведемо тепер Сферичність теорему сінусів, аналогічну теоремі сінусів плоскою трігонометрії. З формули (7) віпліває Рівність. Застосовуючі це Рівність, обчіслімо відношення:
Так як отриманий вирази симетрично относительно сторон a, b, c, то воно дорівнює аналогічнім вирази, отриманий з лівої части цієї рівності заміною сторон a, b, c и кутів А, В, С у круговому порядку. Вілучаючі квадратний корінь з ціх вісловів, отрімуємо трьох Рівні вираженості:
(10)
Ця формула и вісловлює Сферичність теорему сінусів: Сінусі сторон Сферичність трикутника відносяться, як Сінусі протилежних кутів. З формули (10), зокрема видно, что если в Сферичність трикутнику має місце співвідношення, Так что sinB=sinA, то в силу формули (10), Тобто або a=b, або. Альо если a=b, то А=В і відповідно до співвідношення це дает. Отже, С - полюс боці АВ, и того. Таким чином, співвідношення справедливо и в цьом випадка. Отже, если, то сторони a и b зв'язані співвідношенням.
3. ! Застосування сферічної геометрії
