не рішення задачі про площі «під» гіперболою. І до Меркатора було відомо кілька рішень задачі про площу «стать гіперболою», але всі вони були складні і штучні. Гіпербола, яка є графіком функції y
Тепер, залишаючи вісь Ох колишньою, перенесемо вісь Оу на одиницю вправо в положення О1у1. Якщо точка N, взята на гіперболі, мала раніше абсциссу ЗР=х, то нова абсциса буде О1Р- позначимо її через z. Тоді z=x? 1 або ж х=1 + z. Рівняння нашій лінії (гіперболи) y приймає вигляд:.
Якщо, наприклад, ВР=1,8 од. і шуканий логарифм позначений як, то тепер ми повинні його позначити як,
так як нова абсциса z змінюється, від значення 0 до значення 0,8. І ось Меркатор (у цьому вирішальний крок!) Залучає формулу суми спадної геометричної прогресії. А саме,
1-z + z? -z? -z-z + ...=
Здавалося б ця формула потрібна для того, щоб складний вираз нескінченної суми перетворити в просте, що стоїть праворуч. Меркатор ж навпаки, замінює простий дріб 1/1 + z нескінченним знакозмінним поруч, розташованим за ступенями букви z. Він отримує: пл «під» гіперболою (логарифм),
=
Що стоїть знак інтеграла, означає площу, а рівняння
у=1, у=-z, у=z2, у=-z3, ...
означають параболи послідовних ступенів. Отже, «ключ» Меркатора, який він застосував для відкриття незнайомій замкнутої шкатулки - це заміна площі гіперболи поруч площ послідовних парабол.
За часів Меркатора формула площі для параболи
була вже добре відома. Що ж стосується того, що ряд парабол тягнеться необмежено далеко (до нескінченності), то Меркатор про це мало турбувався. Приблизно через 150 років після нього математикам коштувало багатьох праць доказ того, що при цьому переході відразу до несметному безлічі площ парабол ми не робимо помилки, одним словом, логічно-строге доведення далося нелегко. Але в ту епоху, коли жив Меркатор, можна було не входити в ці тонкощі і безтурботно поперемінно додавати і віднімати площі послідовних парабол:
=0,8 кв. од
Ці послідовні майданчика під параболами у=z0, у=z1, у=z2, у=z3, ..., у=z9. Звичайно, значення z=0,8 взято лише як приклад. Можна написати в загальному вигляді: площа «під» гіперболою [1 ... 1 + z]: т.е
=
Остаточна формула така:
log (1 + z)=
або змінюючи букву
log (1 + x)=
Глава 2. Деякі сучасні визначення логарифмів
§1 Про історико-генетичному методі
Використання на уроках елементів історії математики підвищує інтерес учнів, має велике світоглядне і загальнокультурний значення, може чинити виховує вплив.
Учитель не тільки повинен знати, як відбувався розвиток основних математичних понять та ідей, а й розуміти, що учні у своєму навчанні стисло повторюють цей шлях і стикаються з тими ж труднощами, з якими стикалися вчені, що стояли біля витоків формування того чи іншого математичного поняття. Вчителю необхідно не тільки бути знайомим з історією науки, але паралельно, нерозривно з викладеним матеріалом, звертати увагу на те, які методичні ідеї і знахідки підказує йому історія науки, слідувати з історико-генетичному метод.
В основі історико-генетичного методу лежить наступне спостереження: вивчаючи математику, учні коротко повторюють шлях людства, який воно пройшло, добуваючи математичні знання. Якщо ми знаємо цей шлях, знаємо історію математики, то можемо, використовуючи це знання, координувати навчальний процес, роблячи його більш ефективним, а математику, преподносимое учням, більш зрозумілою. Пояснимо цю ідею таким висловлюванням американського професора М. Клайна: «Немає жодного сумніву, що труднощі, які зустріли великі математики, є тими ж каменями спотикання, які зустрічають студенти, і що ніякі спроби змастити ці труднощі за допомогою логічної словесності не досягнуть мети. І якщо потрібні були 1000 років, щоб першокласні математики дісталися до поняття негативних чисел, і знадобилося ще 1000 років, щоб математики визнали негативні числа, то можна бути впевненим, що учні випробують труднощі з негативними числами. Більше того, учням доведеться подолати ці труднощі майже тим шляхом, яким це подолали математики, поступово звикаючи до нових понять, оперуючи з ними і використовуючи всі інтуїтивні засоби, які вчитель зможе їм привести ».
Для того щоб краще роз'яснити суть історико-генетичного методу, розглянемо коротко головні етапи його становлення. Початком його проникнення у викладання математики можна лічений, поява в 1685 р «Історичного і практичного трактату з алгебри» Дж. Валліса. Історичний підхід до викладу предмета і методу алгебри, реалізований у трактаті, викликав у читачів велику зацікавленість і тим самим сприяв прискореному розуміння сенсу ви...
