приклад, з ознаки подібності прямокутних трикутників по пропорційності двох катетів, оскільки AD/CD=CD/DB. Кожен же з прямокутних трикутників ADC і BDC подібний вихідного прямокутного трикутника вже хоча б на підставі ознаки подібності з двох кутках.
Рішення задач на застосування властивостей висот
Завдання 1. Довести, що трикутник, однією з вершин якого є вершина даного тупоугольного трикутника, а дві інші вершини - це підстави висот тупоугольного трикутника, опущених з двох інших його вершин, подібний даному трикутнику з коефіцієнтом подібності , рівним модулю косинуса кута при першій вершині.
Рішення. Розглянемо тупокутний? ABC з тупим CAB. Нехай AA1, BB1, CC1 - його висоти (рис. 2.4, 2.5, 2.6) і нехай CAB =? , ABC =? , BCA =?.
Доказ того факту, що? C1BA1 ~? ABC (рис.2.4) з коефіцієнтом подібності k=cos? , Повністю повторює міркування, проведені при доказі властивості 1, пункту 2.2.
Доведемо, що? A1CB ~? ABC (рис. 2.5) з коефіцієнтом подібності k1=cos? , А? B1AC1 ~? ABC (рис. 2.6) з коефіцієнтом подібності k2=| cos? |.
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Дійсно, прямокутні трикутники CA1A і CB1B мають загальний кут? і тому подібні. Звідси випливає, що B1C/BC=A1C/AC=cos? і, значить, B1C/A1C=BC/AC=cos? , Тобто в трикутниках A1CB1 і ABC боку, утворюють спільний? ? , Пропорційні. А тоді за другою ознакою подібності трикутників? A1CB ~? ABC, причому коефіцієнт подібності k1=cos?. Що ж стосується останнього випадку (рис.2.6), то з розгляду прямокутних трикутників? BB1A і? CC1A з рівними вертикальними кутами BAB1 і C1AC випливає, що вони подібні і, значить, B1A/BA=C1A/CA=cos (1800 -?)=| Cos? |, Оскільки? ?- Тупий. Звідси B1A/C1A=BA/CA=| cos? | І, таким чином, в трикутниках? B1AC1 і? ABC боку, утворюють рівні кути, пропорційні. А це означає, що? B1AC1 ~? ABC з коефіцієнтом подібності k2=| cos? |.
Завдання 2. Довести, що якщо точка O - точка перетину висот гострокутного трикутника ABC, то ABC + AOC=1800, BCA + BOA=1800, CAB + COB=1800.
Рис.2.7
Рішення. Доведемо справедливість першою з наведених в умові задачі формул. Справедливість інших двох формул доводиться аналогічно. Отже, нехай ABC =? , AOC =?. A1, B1 і C1 - підстави висот трикутника, проведених з вершин A, B і C відповідно (рис.2.7). Тоді з прямокутного трикутника BC1C випливає, що BCC1=900 -? і, таким чином, в прямокутному трикутнику OA1C кут COA1 дорівнює?. Але сума кутів AOC + COA1 =? +? дає розгорнутий кут і тому AOC + COA1=AOC + ABC=1800, що потрібно було довести.
Завдання 3. Довести, що висоти гострокутного трикутника є биссектрисами кутів трикутника, вершинами якого є підстави висот даного трикутника.
іс.2.8
Рішення. Нехай AA1, ВВ1, CC1 - висоти гострокутного трикутника ABC і нехай CAB =? (рис.2.8). Доведемо, наприклад, що висота AA1 є бісектрисою кута C1A1B1. Дійсно, так як трикутники C1BA1 і ABC подібні (властивість 1), то BA1C1 =? і, значить, C1A1A=900 -?. З подоби ж трикутників A1CB1 і ABС випливає, що AA1B1=900 -? і тому C1A1A=AA1B1=900 -?. Але це і означає, що AA1 - бісектриса кута C1A1B1. Аналогічно доводиться, що дві інші висоти трикутника ABC є биссектрисами двох інших відповідних кутів трикутника A1B1C1.
. 3 Центр ваги кола трикутника
Медианой трикутника називається відрізок, що з'єднує будь-яку вершину трикутника з серединою противолежащей сторони.
Теорема. Медіана трикутника перетинаються в одній точці, (центр тяжкості).
Доказ. Розглянемо довільний? АВС.
Рис. 2.9
Позначимо буквою О точку перетину медіан АА1 і ВВ1 і проведемо середню лінію А1B1 цього трикутника. Відрізок А1B1 параллелен стороні АВ, тому 1=2 і 3=4. Отже,? АОВ і? А1ОВ1 подібні по двох кутах, і, значить, їх боку пропорційні: АТ: А1O=ВО: В1O=АВ: А1B1. Але АВ=2А1B1, тому АТ=2А1O та ВО=2В1O. Таким чином, точка О перетину медіан АА1 і ВВ1 ділить кожну з них у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.
Аналогічно доводиться, що точка перетину медіан ВВ1 і СС1 ділить кожну з них у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, і, отже, збігається з точкою О і діляться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.
Властивості медіани трикутника:
10 Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.
Дано:? АВС, АА1, ВВ1 - медіани.
