ign="justify"> Довести: АТ: ОА1=ВО: ОВ1=2: 1
Доказ. Проведемо середню лінію А1В1 (рис.2.10), по властивості середньої лінії А1В1 || АВ, А1В1=1/2 AB. Так як А1В1 || АВ, то 1=2 навхрест лежачі при паралельних прямих АВ і А1В1 і січної АА1. 3=4 навхрест лежачі при паралельних прямих А1В1 і АВ і січної ВВ1.
Отже,? АОВ ~? А1OB1 по рівності двох кутів, значить, сторони пропорційні: AO/A1O=OB/OB1=AB/A1B=2/1, AO/A1O=2/1; OB/OB1=2/1.
Рис.2.10
Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.
рис.2.11
Доказ. BD - медіана? ABC (рис.2.11), BE - його висота. Тоді? ABD і? DBC рівновеликі, так як вони мають рівні підстави AD і DC відповідно і загальну висоту BE.
Весь трикутник розділяється своїми медианами на шість рівновеликих трикутників.
Якщо на продовженні медіани трикутника відкласти від середини сторони трикутника відрізок, рівний по довжині медіані, то кінцева точка цього відрізка і вершини трикутника є вершинами паралелограма.
Рис. 2.12
Доказ. Нехай D - середина боку BC? ABC (рис. 2.12), E - така точка на прямій AD, що DE=AD. Тоді оскільки діагоналі AE і BC чотирикутника ABEC в точці D їх перетину діляться навпіл, з властивості 13.4 і випливає, що чотирикутник ABEC - паралелограм.
Рішення задач на застосування властивостей медіан:
Завдання 1. Довести, що якщо O - точка перетину медіан? ABC, то? AOB,? BOC і? AOC рівновеликі.
Рис.2.13
Рішення. Нехай AA1 ??і BB1 - медіани? ABC (рис. 2.13). Розглянемо? AOB і? BOC. Очевидно, що S? AOB=S? AB1B - S? AB1O, S? BOC=S? BB1C - S? OB1C. Але по властивості 2 маємо S? AB1B=S? BB1C, S? AOB=S? OB1C, звідки випливає, що S? AOB=S? BOC. Аналогічно доводиться і рівність S? AOB=S? AOC.
Завдання 2. Довести, що якщо точка O лежить всередині? ABC і? AOB,? BOC і? AOC рівновеликі, то O - точка перетину медіан? ABC.
Рис. 2.14
Рішення. Розглянемо? ABC (2.14) і припустимо, що точка O не лежить на медіані BB1. Тоді так як OB1 - медіана? AOC, то S? AOB1=S? B1OC, а оскільки за умовою S? AOB=S? BOC, то S? AB1OB=S? BOB1C. Але цього бути не може, так як S? ABB1=S? B1BC. Отримане протиріччя означає, що точка O лежить на медіані BB1. Аналогічно доводиться, що точка O належить і двом іншим медіанам? ABC. Звідси і випливає, що точка O дійсно є точкою перетину трьох медіан? ABC.
Завдання 3. Довести, що якщо в? ABC сторони AB і BC не рівні, то його бісектриса BD лежить між медіаною BM і висотою BH.
Доказ. Опишемо біля? ABC окружність і продовжимо його бісектрису BD до перетину з колом в точці K. Через точку K буде проходити серединний до відрізка AC перпендикуляр (свойство1, з пункту 2.1), який з медіаною має загальну точку M. Але так як відрізки BH і MK паралельні, а точки B і K лежать по різні сторони від прямої AC, то точка перетину відрізків BK і AC належать відрізку HM, а це і доводить потрібне.
Завдання 4. У? ABC медіана BM в два рази менше сторони AB і утворює з нею кут 400. Знайдіть ABC.
Рис 2.15
Рішення. Продовжимо медіану BM за точку M на її довжину і отримаємо точку D (рис. 2.15). Так як AB=2BM, то AB=BD, тобто трикутник ABD - рівнобедрений. Отже, BAD=BDA=(180o - 40o): 2=70o. Чотирикутник ABCD є паралелограмом, так як його діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Значить, CBD=ADB=700. Тоді ABC=ABD + CBD=1100.Ответ +1100.
Завдання 5. Сторони? ABC рівні a, b, c. Обчислити медіану mc, проведену до сторони с. (Рис.2.16).
рис.2.16
Рішення. Подвоїмо медіану, добудувавши? ABC до паралелограма АСВР, і застосуємо до цього паралелограма теорему 8. Отримаємо: CP2 + AB2=2AC2 + 2BC2, тобто (2mc) 2 + c2=2b2 + 2a2, звідки знаходимо:
2.4 Окружність Ейлера. Пряма Ейлера
Теорема. Підстави медіан, висот довільного трикутника, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з його ортоцентром, лежать на одній окружності, радіус якої дорівнює половині радіуса описаної близько трикутника окружності. Ця коло називається окружністю дев'яти точок або колом Ейлера.
Доказ. Візьмемо серединний? MNL (рис. 2.17) і опишемо біля нього окружність W. Відрізок LQ - медіана в прямокутному? AQB, тому LQ=1/2AB. Відрізок MN=1/2AB, тому MN- середня лінія? ABC. Звідси випливає, що трапеція QLMN - равнобочная. Так як окружність W проходить через 3 вершини равнобочной трапеції L...
