кожному кроці чотириразового обчислення правої частини рівняння (2.3). Цей алгоритм реалізований в програмі ode45. Крім цієї програми MATLAB розпорядженні великим набором аналогічних програм, що дозволяють успішно вирішувати звичайні диференціальні рівняння.
Вирішити задачу Коші
. (2.7)
Виконаємо рішення даної задачі за допомогою програми ode45. Спочатку в М-файл записуємо праву частину рівняння (2.7), сам М-файл оформляється як файл - функція, даємо йому ім'я:
function f=odddde (x, y)
f=x ^ 2 * sin (y - 1);
Для чисельного розв'язання задачі Коші у вікні команд набираються наступні оператори.
Протокол програми .
gt; gt; [XY]=ode45 (@ F, [0 1], [1]);
% Дескриптор @ забезпечує зв'язок з файлом - функцією правій частині
% [0 1] - інтервал на якому необхідно отримати рішення
% [0,1] - початкове значення рішення
gt; gt; рlot (X, Y);
gt; gt; % Остання команда виводить таблицю чисельного рішення задачі.
Програма обчислення в системі Matlab наведена в Додатку 2. Результат рішення:
Графік рішення задачі Коші (2.7) показаний на рис. 4 .. У програмі ode45 за замовчуванням інтервал розбивається на 40 точок з кроком h =1/40=0.025; xend=1.
Рис. 4. Графік рішення задачі Коші.
3. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Системи рівнянь з'являються майже в кожній галузі прикладної математики. У деяких випадках ці системи рівнянь безпосередньо складають ту задачу, яку необхідно вирішувати, в інших випадках завдання зводиться до такої системи. Якщо задана деяка довільна система рівнянь, то без попереднього дослідження не можна сказати, чи має вона якесь рішення і, в разі якщо рішення існує, чи є воно єдиним. На це питання існують три і тільки три відповіді.
. Рішення системи рівнянь існує і є єдиним. Наприклад,
(3.1)
Рішення цієї системи х =1 і у =2. ніякі інші значення х і у не здатні одночасно задовольнити цим двом рівнянням. У цій главі ми будемо в основному розглядати саме такі системи рівнянь, тобто. Е. Мають єдине рішення. Геометрично ця система рівнянь представлена ??на рис. 5, де видно, що дві прямі лінії, що відповідають двом рівнянням, перетинаються в одній і тільки в одній точці. Координати цієї точки якраз і являють собою шукане рішення.
. Система рівнянь взагалі не має рішення. Наприклад,
(3.2)
Рис. 5. Геометричне уявлення системи двох лінійних рівнянь, що має єдине рішення. Прямі лінії, відповідні рівнянням системи утворюють між собою досить великий кут.
На рис. 6 показані прямі лінії, відповідні цим двом рівнянням. Дві прямі паралельні, вони ніде не перетинаються, і система рівнянь не має рішення.
Рис. 6. Геометричне уявлення системи двох лінійних рівнянь, що не має рішення. Прямі лінії паралельні.
. Система рівнянь має нескінченну безліч рішень. Наприклад,
Як видно з рис. 7, ці два рівняння описують одну й ту ж пряму лінію. Будь-яка точка, що лежить на цій лінії, є вирішенням такої системи рівнянь, наприклад: ( х =0, у =2), ( х =1, у =4/3) і т. д.
Системи рівнянь типу 2 і 3 називаються виродженими. Іноді безпосередньо з поставленого завдання буває ясно, що система рівнянь не може бути виродженої. Якщо ж, як це буває в більшості випадків, відповідна інформація відсутня, то доводиться або перевіряти вирожденность системи рівнянь у процесі вирішення, або досліджувати таку можливість безпосередньо безпосередня перевірка полягала б у обчисленні визначника системи, тоді рівність визначника нулю прямо вказувало б на вирожденность.
Рис. 7. Геометричне уявлення системи двох лінійних рівнянь, що має безліч рішень. Обидва рівняння зображуються однієї і тієї ж прямою лінією.
З погляду звичайної математики система лінійних рівнянь завжди є або виродженої, або невиродженою. З точки ж зору практичних обчислень можуть існувати майже вироджені системи, при вирішенні яких виходять недостовірні значення невідомих. Розглянемо систему рівнянь:
(...
