3.3)
Ця система має єдине рішення х =1; у =1. Тепер розглянемо пару значень невідомих х =2,415; у =0. При підстановці цих значень в вихідні рівняння отримуємо
(3.4)
Після округлення до двох значущих цифр праві частини рівностей (3.4) збігаються з правими частинами вихідних рівнянь. А так як вихідні рівняння були задані тільки з точністю до двох значущих цифр, то рішення (3.4) так само добре відповідає умовам поставленого завдання, як і рішення х =1; у =1.
Рис. 8. Геометричне уявлення системи двох лінійних рівнянь, яка є майже виродженої. Прямі, що відповідають двом рівнянням, майже збігаються.
Справа в тому, що дві прямі лінії, описувані двома рівняннями цієї системи, майже паралельні, як це показано на рис. 8 .. Точка х =2,415; у =0 хоча і не лежить на жодній з цих прямих ліній, але дуже близька до них.
Системи типу (3.3) називаються погано зумовленими . У будь-якому випадку, коли дві лінії (або площини і гіперплощини) майже паралельні, система рівнянь стає погано обумовленою. У цьому випадку знайти чисельне рішення системи важко, а точність його вельми сумнівна. Більш того, система з трьох і більше рівнянь може виявитися погано обумовленою, навіть якщо ніякі площини не є паралельними або майже паралельними 1). Незалежно від геометричної інтерпретації обумовленість системи можна досліджувати при її вирішенні методом Гаусса або за допомогою спеціальної перевірки.
. Методи чисельного рішення системи лінійних рівнянь поділяються на два типу, прямі (кінцеві) і ітераційні (нескінченні) . Природно, ніякої практичний метод рішення системи рівнянь не може бути нескінченним. Мається на увазі тільки те, що прямі методи можуть у принципі (з точністю до помилок округлення) дати точне рішення, якщо воно існує, за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій. З іншого боку, ітераційний метод вимагає нескінченного числа арифметичних операцій, що приводять до точного рішення. Іншими словами, при використанні ітераційного методу з'являється помилка обмеження, відсутня в прямих методах.
До вирішення систем лінійних рівнянь зводяться численні практичні завдання, наприклад різні крайові задачі для звичайних і в приватних похідних диференціальних рівнянь. Можна з повною підставою стверджувати, що дана проблема є однією з найпоширеніших і важливих завдань обчислювальної математики.
Нехай задана система п лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими:
. (3.5)
Система рівнянь (3.5) в матричній формі представляється наступним чином:
АХ=В, (3.6)
де А - квадратна матриця коефіцієнтів, розміром п ? п рядків і стовпців;
Х - вектор-стовпець невідомих;
В - вектор-стовпець правих частин.
Систему рівнянь (3.5) можна вирішити різними методами. Один з найбільш простих і ефективних методів є метод виключення Гауса і його модифікації. Алгоритм методу заснований на приведенні матриці А до трикутного вигляду (прямий хід) і послідовному обчисленні невідомих (зворотний хід). Ці процедури можна виконувати над невираженими матрицями, в іншому випадку метод Гаусса непридатний.
Недоліком методу є накопичення похибок в процесі округлення, тому метод Гаусса без вибору головних елементів використовується зазвичай для вирішення порівняно невеликих ( п ? 100) систем рівнянь з щільно заповненою матрицею і не близьким до нуля визначником. Якщо матриця А сильно розріджена, а її визначник неблизький до нуля, то метод Гаусса придатний для вирішення великих систем рівнянь. У MATLAB є обширний арсенал методів розв'язання систем рівнянь (3.5) методом виключення Гауса. Для цього застосовуються такі оператори дають вирішення ряду систем лінійних рівнянь АХ=В, де А - матриця розміром m ? n , В - матриця розміром п ? до .
Вирішити систему лінійних рівнянь:
Програма обчислення в системі Matlab наведена в Додатку 3. Результат рішення:
x=1.000000000000000
2.000000000000001
3.000000000000001
4.000000000000000=1.000000000...
