/i> + 1) ординате, виходить точна формула для знаходження інтеграла від многочлена ступеня 2 n + 1.
Виявляється, що значення ? i в рівнянні (1.17) є корінням поліномів Лежандра ступеня n . З цієї причини вищеописаний метод чисельного інтегрування часто називають методом Лежандра - Гaycca. Поліноми Лежандра Р n (? ) можна знайти за допомогою рекурентних формул
(1.18)
Наприклад, для m =2
Зауважимо, що коріння Р 2 (? ) рівні, як ми вже визначили раніше.
Вагові коефіцієнти у формулі (18) можна знайти з наступного співвідношення:
Як приклад візьмемо n =2, так що, і. При цьому
і абсолютно аналогічно А 1 =1.
У загальному випадку помилка обмеження визначається формулою
Отже, метод Гаусса дозволяє досягти більшої точності, ніж формула Сімпсона при тій же кількості ординат, але зате точки, де слід визначати ці ординати, повністю визначені і абсолютно не залежать від свавілля програміста. Як і в багатьох інших випадках, при чисельному інтегруванні доводиться робити вибір між простотою формули Сімпсона і можливої ??економією машинного часу при використанні методу Гаусса. На практиці частіше використовується метод Сімпсона.
. 4 Чисельні приклади і порівняння методів
Розглянемо наступний інтеграл:
Програма обчислення в системі Matlab наведена в Додатку 1. Результат рішення:
a=1; b=1; x0=1; xn=3; n=100; h=0.020000000000000;
метод трапецій: s=0.250007291505220
аналітичні рішення: s=0.250000000000000
метод Сімпсона: s=0.250000000645597
квадратурні формули Гауса: s=0.249997523978987
метод Чебишева: s=0.249974640808074
Висновки мають загальний характер.
. Формула Сімпсона при n ординатах дає приблизно ту ж ступінь точності, що і формула трапецій при 2 n ординатах.
. Метод Гaycca при n ординатах дає приблизно ту ж ступінь точності, що і формула Сімпсона при 2 n ординатах.
. Для досягнення тієї ж ступеня точності при використанні формули Сімпсона доводиться виробляти приблизно вдвічі менше обчислень, ніж за формулою трапецій, яка вимагає вдвічі більшої кількості ординат.
. Для досягнення тієї ж ступеня точності при використанні методу Гаусса доводиться виробляти приблизно вдвічі менше обчислень, ніж за формулою Сімпсона завдяки вдвічі меншій кількості ординат.
Економія часу при використанні методу Гаусса має свій зворотний бік. Справа в тому, що якщо доводиться заново обчислювати той же інтеграл з великою кількістю точок, то не можна використовувати раніше обчислені ординати, так як вони знаходяться в невідповідних місцях.
2. Чисельне рішення звичайних диференціальних рівнянь
Багато задач фізики, хімії, екології, механіки та інших розділів науки і техніки при їх математичному моделюванні зводяться до диференціальних рівнянь. Тому рішення диференціальних рівнянь є однією з найважливіших математичних задач. У обчислювальній математиці вивчаються чисельні методи рішення диференціальних рівнянь, які особливо ефективні в поєднанні з використанням персональних комп'ютерів.
Серед безлічі чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь найбільш прості - це явні однокрокові методи. До них відносяться різні модифікації методу Рунге-Кутта.
Постановка завдання: Потрібно знайти функцію ?? = у ( х ), що задовольняє рівнянню
(2.3)
і приймаючу при х = х 0 задане значення у 0:
. (2.4)
При цьому рішення необхідно отримати в інтервалі х 0? х ? х к. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що рішення у ( х ) задачі Коші (2.3), (2.4) існує, єдино і є гладкою функцією, якщо права частина F ( x, y ) задовольняє деяким умовам гладкості. Чисельне рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта 4-го порядку полягає в наступному. На заданому інтервалі [ х 0, х к] вибираються вузлові точки. Значення рішення в нульовій точці відомо у ( х 0)= у 0. У наступній точці у ( х 1) визначається за формулою
, (2.5)
Тут
(2.6)
т. е. даний варіант методу Рунге-Кутта вимагає на ...
