ю температури, на поверхні пластинки постійного потоку тепла.
У роботах С.А. Калоерова, Ю.С. Антонова [49] - [51] запропонована методика рішення задач теплопровідності й термопружності для кінцевих і нескінченних багатозв'язних анізотропних пластинок c отворами і тріщинами. Рішення побудовано на використанні теорії функції комплексної змінної та задоволенні граничним умовам методом найменших квадратів.
1 Термодинамічні основи термопружності
1.1 Термопружність
Основне рівняння термопружності. При термічному розширенні изотропное тіло деформується таким чином, що компоненти деформації віднесені до системи прямокутних осей х1 x2 x3 визначаються виразом (1.1.1)
, (1.1.1)
Допускається, що достатньо мало для того, щоб термічні властивості тіла залишалися постійними на тому відрізку часу, який нас цікавить. Сумарна деформація тіла виражається через компоненти вектора переміщення u1 наступним рівнянням:
(1.1.2)
де позначає приватну похідну. Ця сумарна деформація складається з термічної деформації і пружною деформації, компоненти якої визначаються співвідношенням (1.1.1)
, (1.1.3)
де П„ij - компоненти тензора напружень; величина
Оё = П„ij (1.1.4)
є сумою головних напружень; О» і Ој - пружні постійні Ламі для тіла. Підставляючи співвідношення (1.1.1) - (1.1.3) - у рівняння
В
отримаємо тензорне рівняння
, (1.1.5)
Вирішуючи це тензорне рівняння щодо компонентів тензора напруг, знайдемо
(1.1.6)
де
(1.1.7)
позначає розширення тіла і
Оі = О± (3О» + 2Ој). (1.1.8)
Фізичний закон, виражений тензорним співвідношенням (1.1.6), називається законом Дюамеля - Неймана
Термодинамічними змінними, що описують стан пружного тіла, є компоненти деформації (1.1.2) і абсолютна температура Т +.
Використовуючи методи термодинаміки оборотних процесів, Біо показав, що ентропія s одиниці об'єму тіла визначається співвідношенням
(1.1.9)
де адитивна постійна, що входить у визначення ентропії, була обрана таким чином, що ентропія була рівна нулю в початковому стані. У цьому рівнянні ПЃ - щільність тіла, с - питома теплоємність одиниці маси (Приймається незалежною від температури поблизу рівноважної температури T), і Оі визначається формулою (1.1.8). Якщо мало в порівнянні з Т то співвідношення (1.1.9) зводиться до простого виразу для ентропії одиниці об'єму
(1.1.10)
Таким чином, кількість тепла, що поглинається одиницею об'єму в процесі малих деформацій і малих зміні температури, визначається формулою
h = Ts = ПЃс + ОіTО” (1.1.11)
З теорії теплопровідності в твердих тілах відомо, що зміна температури всередині ізотропного тіла підпорядковується рівнянню
(1.1.12)
k - коефіцієнт теплопровідності тела;
q - кількість тепла;
виділяється в одиниці об'єму тіла. Підставляючи вираз (1.1.10) у співвідношення (1.1.11), знайдемо
(1.1.13)
Якщо ввести коефіцієнт температуропровідності
,
то останнє рівняння можна записати у формі
(1.1.14) де
,
Для того щоб доповнити систему основних рівнянь, приєднаємо до ній рівняння руху у вигляді
, (1.1.15)
де (F1, F2, F3) позначає масову силу в точці (х1, х2, х3) і - i-й компонент прискорення д2і/дt2 біс звичайно малого елемента, зосередженого біля цієї точки.
Система шістнадцяти рівнянь (1.1.2), (1.1.6), (1.1.14) і (1.1.15) разом з відповідними граничними умовами достатня для визначення зміни температури і компонентою напружень і переміщення в випадку В»коли джерела тепла і масові сили задані.
Безрозмірна форма рівнянь. Основні рівняння термопружності зручно записати в безрозмірною формі. Якщо характерний лінійний розмір прийняти в якості одиниці довжини В»час П„ в якості одиниці часу, температуру початку відліку T за одиницю виміру температури і модуль зсуву Ој прийняти в якості одиниці вимірювання, напруги то в результаті знайдемо, що рівняння (1.1.6), (1.1.14) і (1.1.15) візьмуть відповідно наступну безрозмірну форму:
, (1.1.16)
(1.1.17)
де
,
позначають нові функції і
,,,.
При визначенні а величина була замінена швидкістю с2 поширення S-хвиль в тілі. Велічінa представляє квадрат відносини швидкості Р - хвиль до швидкості S - Волі. Залежно від коефіцієнта Пуассона величину ОІ можна записати у вигляді.
Завдання про усталені станах. Якщо масові сили і джерела тепла не залежать від часу і якщо поверхневі навантаження є статичними навантаженнями, то тоді...
