f (x). В
3.2.2 Методи обчислення визначеного інтеграла.
1. Безпосереднє інтегрування
Приклад 35.
а)
б)
в)
В
д)
2. Заміна змінних під знаком певного інтеграла .
В В
Приклад 36.
В В
2. Інтегрування по частинах в певному інтегралі .
В В
Приклад 37. br/>
а)
б)
В
в)
В В В
д)
В
3.2.3 Додатки певного інтеграла
Характеристика
Вид функції
Формула
площа криволінійної трапеції
в декартових координатах
В
площа криволінійного сектора
в полярних координатах
В
площа криволінійної трапеції
в параметричної формі
В
довжина дуги
кривої
в декартових координатах
В
довжина дуги
кривої
в полярних координатах
В
довжина дуги
кривої
в параметричної формі
В
об'єм тіла
обертання
в декартових координатах
В
об'єм тіла з заданим поперечним
перетином
В В
Приклад 38. Обчислити площа фігури, обмеженої лініями: і . p> Рішення: Знайдемо точки перетину графіків даних функцій. Для цього прирівняємо функції і вирішимо рівняння
Отже, точки перетину і.
В
Площа фігури знайдемо, використовуючи формулу
.
У нашому випадку
В В
Відповідь: площа дорівнює (квадратних одиниць).
Глава 4. Функції декількох змінних
4.1 Основні поняття
Визначення. Якщо кожній парі незалежних один від одного чисел з деякого безлічі по якомусь правилу ставиться у відповідність одне або кілька значень змінної z, то змінна z називається функцією двох змінних.
Визначення. Областю визначення функції z називається сукупність пар, при яких функція z існує.
Область визначення функції двох змінних представляє собою деяке безліч точок на координатній площині Oxy. Координата z називається аплікатою, і тоді сама функція зображується у вигляді деякої поверхні в просторі E 3 . Наприклад:
В
Рис.1
Приклад 39. Знайти область визначення функції.
а)
Вираз, що стоїть в правій частині має сенс тільки при. Значить, область визначення даної функції є сукупність всіх точок, що лежать всередині і на кордоні кола радіуса R з центром на початку координат.
В
б).
Область визначення даної функції - всі крапки площині, окрім точок прямих, тобто осей координат.
Визначення. Лінії рівня функції - це сімейство кривих на координатній площині, що описується рівняннями виду.
Приклад 40. Знайти лінії рівня функції.
Рішення. Лінії рівня даної функції - це сімейство кривих на площині, що описується рівнянням
, або.
Останнє рівняння описує сімейство кіл з центром у точці О 1 (1, 1) радіусу. Поверхня обертання (параболоїд), описувана даною функцією, стає В«крутішеВ» по мірі її віддалення від осі, яка задається рівняннями x = 1, y = 1. (Мал. 4)
В
Рис.4
В
4.2 Межі та безперервність функцій кількох змінних.
1. Межі. p> Визначення. Число A називається границею функції при прагненні точки до точці, якщо для кожного як завгодно малого числа знайдеться таке число, що для будь-якої точки вірно умова, також вірно умова. Записують:. p> Приклад 41. Знайти межі: br/>В
тобто межа залежить від, а, значить, він не існує.
В
2. Безперервність. p> Визначення. Нехай точка належить області визначення функції. Тоді функція називається безперервної в точці, якщо
(1)
причому точка прагне до точки довільним чином.
Якщо в будь-якій точці умова (1) не виконується, то ця точка називається точкою розриву функції. Це може бути в таких випадках:
1) Функція не визначена в точці. p> 2) Не існує межа.
3) Ця межа існує, але він не дорівнює.
Приклад 42. Визначити, чи є дана функція безперервної в точці, якщо.
В В
Отримали, що значить, дана функція неперервна в точці.
В
межа залежить від k,...
