тобто він в даній крапці не існує, а значить, функція має в цій точці розрив. В
4.3 Похідні і диференціали функцій декількох змінних
В
4.3.1 Приватні похідні першого порядку
Приватна похідна функції по аргументу x є звичайною похідною функції однієї змінної x при фіксованому значенні змінної y і позначається:
В
Приватна похідна функції по аргументу y є звичайною похідною функції однієї змінної y при фіксованому значенні змінної x і позначається:
В
Приклад 43. Знайти приватні похідні функцій.
В В
4.3.2 Приватні похідні другого порядку
Приватні похідні другого порядку - це приватні похідні від приватних похідних першого порядку. Для функції двох змінних виду можливі чотири види приватних похідних другого порядку:
В
Приватні похідні другого порядку, в яких диференціювання проводиться по різних змінним, називають змішаними похідними. Змішані похідні другого порядку двічі дифференцируемой функції рівні.
Приклад 44. Знайти приватні похідні другого порядку.
В В В В
4.3.3 Повний диференціал і його застосування до наближених обчислень.
Визначення. Диференціал першого порядку функції двох змінних знаходиться за формулою
.
Приклад 45. Знайти повний диференціал для функції.
Рішення. Знайдемо приватні похідні:
В
тоді
.
При малих збільшеннях аргументів x і y функція отримує прирощення, приблизно рівне dz, тобто . p> Формула для знаходження наближеного значення функції в точці, якщо відомо її точне значення в точці:
.
Приклад 46. Знайти. p> Рішення. Нехай,
. p> Тоді використовуємо формулу
. br/>
Отримаємо:
.
В
Відповідь. . p> Приклад 47. Обчислити наближено.
Рішення. Розглянемо функцію. Маємо
В
Відповідь. . p> Приклад 48. Обчислити наближено.
Рішення. Розглянемо функцію. Отримаємо:
В В
Відповідь. . h3> 4.3.4 Диференціювання неявної функції
Визначення. Функція називається неявної, якщо вона задається рівнянням, що не розв'язаним відносно z.
Приватні похідні такий функції знаходяться за формулами:
В
Приклад 49. Знайти приватні похідні функції z, заданої рівнянням.
Рішення. p> Визначення. Функція називається неявної, якщо вона задається рівнянням, що не розв'язаним відносно y.
Похідна такої функції знаходиться за формулою:
.
Приклад 50. Знайти похідні даних функцій.
В В В
Глава 5. Класичні методи оптимізації
5.1 Локальний екстремум функції кількох змінних
Визначення 1. Функція має максимум в точці, якщо для усіх точок досить близьких до точки і відмінних від неї.
Визначення 2. Функція має мінімум в точці, якщо для усіх точок досить близьких до точки і відмінних від неї.
Необхідна умова екстремуму. Якщо функція досягає екстремуму в точці, то приватні похідні від функції звертаються в нуль або існують в цій точці.
Точки, в яких приватні похідні звертаються в нуль або не існують, називаються критичними. p> Достатній ознака екстремуму. Нехай функція визначена в деякій околиці критичної точки і має в цій точці безперервні приватні похідні другого порядку
В
Тоді
1) має локальний максимум в точці, якщо і ; p> 2) має локальний мінімум в точці, якщо і ; p> 3) не має локального екстремуму в точці, якщо;
Схема дослідження на екстремум функції двох змінних.
1. Знайти приватні похідні функції: і . p> 2. Вирішити систему рівнянь, і знайти критичні точки функції.
3. Знайти приватні похідні другого порядку, обчислити їх значення в критичних точках і з допомогою достатньої умови зробити висновок про наявність екстремумів.
4. Знайти екстремуми функції.
Приклад 51. Знайти екстремуми функції.
Рішення. p> 1) Знайдемо приватні похідні.
2) Вирішимо систему рівнянь
3) <В
4) Знайдемо приватні похідні другого порядку та їх значення в критичних точках:. У точці отримаємо: br/>В
значить, в точці екстремуму немає. У точці отримаємо:
В
значить, в точці мінімум.
5) . br/>
Відповідь. <В
5.2 Глобальний екстремум (найбільше і найменше значення функції)
Найбільше і найменше значення функції декількох змінних, неперервної на деякому замкнутому безлічі, досягаються або в точках екстремуму, або на кордоні множини.
Схема знаходження найбільшого і найменшого значень.
1) Знайти критичні точки, що лежать всередині області, обчислити значення функції в цих точках.
2) Дослідити функцію на межі області; якщо межа складається з декількох різних ліній, то дослідження...
