знову висловимо через, тоді. Наведемо подібні доданки, отримаємо
. За правилом трикутника, отже. Таким чином, ми показали, що перетворення довільну точку E переводить в точку G таку, що, отже, це перетворення - Гомотетия з центром в точці М і коефіцієнтом lk . p>. (23)
Зараз знайдемо перетворення. , А це за формулою (23) дорівнює,. Далі застосовуючи формулу (23), отримуємо,В . Висловимо вектор через вектор. За правилом трикутника,. Ми вже знаємо, що, тоді. Наведемо подібні доданки, отримаємо. Так як, то. Значить,. Таким чином,
. (24)
5. Трансформація руху гомотетии
5.1. Трансформація осьової симетрії гомотетии
Розглянемо. По теоремі про нерухомих точках, пряма - нерухома пряма перетворення, значить, це осьова симетрія з віссю m .
. (25)
5.2. Трансформація паралельного переносу гомотетии
, але,. [1] Тоді, що за формулою (22) дорівнює. Отже,
. (26)
5.3. Трансформація довільного руху гомотетии
Розглянемо. По теоремі про нерухомих точках, нерухомими точками перетворення є образи нерухомих точок руху f . Доведемо, що це - рух. . Розглянемо точки А і L , | AL | = d . Нехай при гомотетии вони переходять відповідно в точки В і М , тоді | BM | = d / k . При русі f точки В і М переходять відповідно в точки З і N , тоді | CN | = d / k , тому що рух зберігає відстані між точками. Нехай при гомотетии точки З і N переходять відповідно в точки D і P , | DP | = kd / k = d . Ми отримали, що перетворення зберігає відстані між точками, значить, це рух, нерухомими точками якого є образи нерухомих точок руху f , а т.к. вид руху визначається його нерухомими точками, то - рух того ж виду, що й f . h1 align=center> 6. Трансформація подоби гомотетии
Розглянемо, де f - подоба. Відомо, що подібність - це композиція руху і гомотетии, тоді, а це, за формулами (2), дорівнює. Як було доведено в 5.3,В - Рух того ж виду, що й g , а за формулою (24). Отже, - подоба того ж виду, що і f . Якщо f , то
. (27)
7. Трансформація руху подобою
Нехай подобу - це композиція руху g і гомотетии, то рух f під подобою - це. У силу асоціативності композиції перетворень,. За доведеним у п. 5.3 = f 1 - рух того ж виду, що й f , а його нерухомі точки - образи нерухомих точок руху f при гомотетии. Тоді. Але f 1 ...
