/p>
Якщо двічі безперервно дифференцируема на, то для функції
В
має місце асимптотическое уявлення
прі.
Доведемо цю лему. Замінюючи на, отримаємо:
. (26)
Розглянемо інтеграл, що фігурує в першому доданку правої частини формули (20). Замінюючи на, знайдемо:
,
але, замінивши на, отримаємо:
.
Якщо позитивна, убуває і прагнути до нуля при, то і, а отже, і є при, тому
при,
звідки
прі.
Отже, отримуємо асимптотическое уявлення:
прі. (27)
Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому доданку правої частини формули (20). Маємо:
,
.
Очевидно, двічі безперервно дифференцируема на, але існують і, тому стає безупинно дифференцируема на. Інтегрування по частинах дає:
,
де перше доданок правої частини є при, а інтеграл у другому доданку невласний при нижній межі мажоріруется інтегралом
,
який сходиться, так як
при;
отже, другий доданок є теж при . p> Отже, маємо:
прі. (28)
З (26), (27), (28) отримуємо шукане асимптотичне подання:
прі. (29)
З цієї формули, переходячи до зв'язаних величинам, знайдемо ще:
прі. (29 `)
Формули (29) і (29 `) вірні і для комплекснозначних функцій. p> Висновок асимптотичної формули для J n (x)
Замінюючи на, отримаємо:
В
(враховуючи, що є парна функція від, а є непарна функція від). Підстановка дає:
,
де є, очевидно, поліном n-го ступеня (поліном Чебишева), так як з формули Муавра видно, що є поліном n-го ступеня відносно. Але
В
і, замінюючи в першому з цих інтегралів на , Отримаємо:
В
Так як і на мають похідні всіх порядків, то до двох останнім інтегралам застосовні формули (29) і (29 `), і ми отримуємо:
;
але;, отже,
.
Отже, маємо шукане асимптотичне подання бесселевих функції першого роду з цілим індексом для більших значень аргументу:
прі. (30)
Ця формула показує, що з точністю до доданка порядку є затухаючої гармонікою із хвилею постійної довжини і амплітудою, спадної назад пропорційно квадратному кореню з абсциси.
Зокрема,
при; (30 `)
прі. (30 ``)
Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Бесселя.
1. Знайти рішення рівняння Бесселя при
,
задовольняє початковим умовам при, і.
Рішення.
На підставі формули (5 `) знаходимо одне приватне рішення:
.
2. Знайти одне з рішень рівняння:
,.
Рішення.
Зробимо заміну
.
При отримаємо:
.
При шукатимемо рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:
.
Рівняння на має вигляд;
,,, , Тому
,
,.
В
Рисунок 1 - Графік ...
