е за Кондорсе правило вибирає переможця за Кондорсе, якщо такий існує.
Відсутність переможця за Кондорсе є знаменитим "парадоксом голосування". Як часто може спостерігатися парадокс голосування? У загальному випадку ймовірність p ( p , n ) того, що переможця за Кондорсе не існує при р кандидатах і n виборцях, зростає по р і росте за кількістю виборців від n до n +2 . Це може бути перевірено на основі обчислення p ( п , р) для малих значень n і р , але в загальному випадку це твердження залишається недоведеним припущенням.
Парадокс голосування стає майже достовірною подією, коли число кандидатів стає досить великим при фіксованому n . Якщо число виборців стає достатньо великим при фіксованому р , то гранична ймовірність p ( p ) може бути оцінена за Фішберн [1984]:
В
яка справедлива з точністю до половини відсотка при р ВЈ 50.
Визначення 2.3. Правила голосування з підрахунком очок.
Фіксуємо послідовність дійсних чисел, що не спадає
s 0 ВЈ s 1 ВЈ ... ВЈ s p-1 при s 0 p-1 .
Виборці ранжирують кандидатів, причому s 0 очок дається за останнє місце, s 1 - за передостаннє і так далі. Обирається кандидат з максимальною сумою очок.
Визначення 2.4. Правило Копленда. Порівняємо кандидата а з будь-яким іншим кандидатом х . Нарахуємо йому +1 , якщо для більшості а краще за х, -1, якщо для більшості х краще за а , і 0 при рівність. Підсумовуючи загальну кількість очок по всім х , х В№ а , отримуємо оцінку Копленда для а . Обирається кандидат, названий переможцем за Коплендом, із найвищою з таких оцінок. p> Визначення 2.5 . Правило Сімпсона. Розглянемо кандидата а, будь-якого іншого кандидата х і позначимо через N (а, x) число виборців, для яких а краще за х. Оцінкою Сімпсона для а називається мінімальне з чисел N (а, x) по всіх х , х В№ а . Обирається кандидат, названий переможцем за Сімпсоном, із найвищою такою оцінкою. Обидва цих правила заможні за Кондорсе. p> Оптимальність за Парето. Якщо кандидат а для всіх кращий від кандидата b, то b не може бути обраним.
Анонімність. Імена виборців не мають значення: якщо два виборця поміняються голосами, то результат виборів не зміниться.
Нейтральність. Імена кандидатів не мають значення. Якщо ми поміняємо місцями кандидатів а і b в перевазі кожного виборця, то результат голосування зміниться відповідно (якщо раніш вибирався а, то тепер буде вибиратися b і навпаки; якщо вибирався деякий х, відмінний від а і b, то він же і буде вибрано). ...
