днати X з точками перетину wГ‡w Вў. Тепер виконуємо необхідні побудови в наступному порядку: знаходимо B Вў = invOR (B) і invOR (w1), через точку B Вў проводимо дотичні a і b до окружності invOR (w1), будуємо образи invOR (a) і invOR (b) при інверсії invOR. Залежно від розташування точки B Вў щодо кола invOR (w1) може бути два, один і жодного рішення (наприклад, коли B Вў знаходиться всередині invOR (w1)). p> Рішення F. Для вирішення цього завдання достатньо вміти проводити загальну дотичну до двох довільним окружностях w (X, r) і w Вў (Y, R). Будемо вважати, що r
Рис. 10
Для проведення внутрішньої дотичній замість w1 (Y, Rr) треба розглянути окружність w2 (Y, R + r). У загальному випадку можливо до чотирьох рішень. Тепер повернемося до вихідної завданню. Нехай дано точка A і дві окружності w1 і w2. Шукана окружність w, що проходить через A і що стосується w1 і w2, при інверсії з центром O = A повинна перейти в деяку пряму a, яка стосується кіл invOR (w1) і invOR (w2) (Властивості VIII і IX). Таким чином, приходимо до наступного порядку побудов: знаходимо invOR (w1) і invOR (w2), проводимо спільні дотичні (a, b, c, d) і будуємо образи цих дотичних при invOR. У загальному випадку вийде до чотирьох шуканих кіл, проте в одному випадку рішень буде нескінченно багато (уявіть, що станеться після інверсії з колами w1 і w2, якщо вони стосуються в точці A). p> Рішення G. Завдання Аполлонія легко зводиться до попередньої завданню. Нехай дано окружності w1 (O1, r1), w2 (O2, r2) і w3 (O3, r3), і r1
w2 (O2, r2-r1) і w3 (O3, r3-r1). Зменшивши радіус кола w на r1, тобто розглядаючи w (O, R-r1), приходимо до однієї з шуканих кіл. Кількість рішень досліджувати самим (Здається, виключаючи нескінченний випадок, можливо до восьми рішень). h2> Зміна відстані при інверсії
Основою досліджень у цьому параграфі буде формула V для обчислення відстані між образами точок A і B при інверсії щодо w (O, R): | A Вў B Вў | = | AB | R2/(| OA | В· | OB |). З цієї формули відразу видно, що відстань при інверсії для довільних точок A і B не зберігається й перекручування відстані відбувається сильніше при наближенні точок A і B до центру кола інверсії. Перш ніж встановити менш очевидний факт, введемо важливе в теорії кругових преобразованій5 поняття подвійного відносини чотирьох точок. p> Визначення. Подвійним ставленням чотирьох точок A, B, C і D називають число
| AC |
| BC |: | AD |
| BD |.
Теорема. Подвійне ставлення чотирьох точок зберігається при інверсії.
Доказ. Позначимо через A Вў, B Вў, C Вў і D Вў відповідно образи точок A, B, C і D при інверсії щодо кола w (O, R). Тоді з формули V маємо
| A Вў C Вў |...
