/B> Запишемо очевидне співвідношення
N Г—
N = 1 і продифференцируем його по a 1 , a 2 :
2 N Г— N , i = 0; очевидно, вектор N , I лежить в дотичній площини до поверхні S і може бути представлений у вигляді розкладання N , i = B ij r j.
При цьому вводиться в розгляд тензор другого рангу
= B a b Г— r a Г— r < sub> b,
є другим фундаментальним тензором поверхні, а його компоненти B a b - коефіцієнтами другий квадратичної форми поверхні, що визначає зовнішню геометрію поверхні.
У головних осях тензор може бути записаний у вигляді:
== k 1 e 1 e 1 + k 2 e 2 e 2
k 1 = 1/R 1 ; k 2 = 1/R 2 -
головні кривизни
Надалі координатні лінії вибираються вздовж головних осей кривизни. Нехай надалі
I 1 = K 1 + k 2 - Перший інваріант (середня кривизна)
I 2 = K 1 Г— k 2 - Другий інваріант (гауссова кривизна)
Спеціальна система координат в теорії оболонок
N = E 1 ' e 2
Для будь-якої точки тіла оболонки:
r (a 1 , a 2 , a 3 ) = r (a 1 , a 2 ) + a 3 N
= (r , i ) 2 = ( R , i + (a 3 N ), i) 2 = ( r i + a 3 B ij r j ) 2 (B 12 = B 21 = 0)
= ( r 1 + a 3 N , 1 ) < sup> 2 = (R 1 + a 3 Г— B 11 r 1 ) < sup> 2 = (1 + a 3 k 1 ) 2
H 1 = A 1 (1 + a 3 k 1 ); H 2 = A 2 (1 + a 3 k 2 ); (ВЅ r i ВЅ = A i )
= N Г— N = 1 В® H 3 = 1 -
параметри Ляме в спеціальній системі координат
Співвідношення Гауса і Кодацці
Рівняння спільності параметрів Ляме:
(H 2,1 /H 1 ), 1 + (H 1,2 /H 2 ), 2 + (H 1,3 Г— H < sub> 2,3 )/= 0
(H 1,2 Г— H 2,3 )/(H 2 H 3 ...
