> e 3 - (H 1,3 /H 3 ) (H 2,3 /H 3 )
e 2
Тоді, прирівнюючи коефіцієнти при базисних векторах, отримаємо:
e 1 : (H 2,1 H 1,2 )/(H 1 H 2 ) - (H 2,1 H 1,2 )/(H 1 H 2 ) Вє 0 - тотожність
e 2 : (H 2,1 /H 1 ), 1 + (H 1,2 /H 2 ), 2 + (H 1,3 Г— H < sub> 2,3 )/= 0
e 3 : (H 1,2 Г— H 2,3 )/(H 2 H 3 ) - (H 1,3 /H 3 ), 2 = 0
Кругова перестановка індексів призводить до шести рівнянь спільності параметрів Ляме.
Деякі відомості з теорії поверхонь
Розглянемо довільну гладку поверхню і систему декартових координат x, y, z. p> Нехай r = r (a 1 , a 2 ) - Радіус-вектор довільної точки серединної поверхні оболонки. Розглянемо похідні r по змінним a 1 і a 2
r , 1 = r 1; r , 2 = r 2
Введемо в розгляд базис
r 1 /ВЅ r 1 ВЅ = e 1 r 2 /ВЅ r 2 ВЅ = e 2
В
і позначимо ВЅ r a ВЅ = A a на серединної поверхні S (a 3 = 0). У цьому випадку r i = A i e i
Складемо скалярні твори:
r a Г— r b = G a b ; G 11 =; G 22 =
G 12 = G 21 = 0 для ортогональної системи координат
При цьому утворюється тензор другого рангу = G a b r a r b , який називається першим фундаментальним тензором поверхні.
ds 2 = (D r ) 2 = ( r , 1 da 1 + < b> r , 2 da 2 ) 2 =
= ( r 1 da 1 + r 2 da 2 ) 2 = G 11 d + 2G 12 da 1 da 2 + C 22 d =
= d + d;
Коефіцієнти А 1 і А 2 є коефіцієнтами першої квадратичної форми і називаються параметрами Ляме. Перша квадратична форма визначає так звану внутрішню геометрію поверхні і визначає метрику поверхні. Введемо в розгляд одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні N. <...
