,
Rn = (c [a; b]) [15, c.107] (14)
Для отримання оцінки (13) залишилося врахувати визначення Мi
Таким чином, похибка першого з наближених рівностей J Jn , породжувана формулами (2) і (3), оцінюється числом . Загальне правило (де Vn vn - є абсолютними похибками) обчислення абсолютної 2п похибки наближених інтегралів прийме вигляд
В
Де vn - оцінка точності обчислення значення Jn.
Як видно з виразу для Vn, оцінка похибок формул (2) і (3) залежить від подинтегральной функції, від величини відрізка інтегрування та кількості п частин його розбиття. Оскільки для кожного конкретного інтеграла числа М1 і (b - а) 2 постійні, можна сказати, що похибка обернено пропорційна п.
.2.2 Оцінка похибок за формулою трапеції
Теорема 6. Якщо друга похідна функції f неперервна на [а; b], для квадратурної формули (6) має місце нерівність
[17, c.55] (15)
де М2 =
Нехай [xi-1; xi] - довільний відрізок з розбиття [а; b] на п рівних частин з кроком Користуючись формулою залишкового члена для інтерполяційного многочлена першого ступеня, побудованого на вузлах xi-1; xi отримаємо
[17, c.55] (16)
Де - залежне від x число між xi-1; xi. Проинтегрируем ліву і праву частини (8) на відрізку [xi-1; xi]. При цьому врахуємо наступне: по-перше, інтеграл від P1 (x) дорівнює (співвідношення (4) і (5)), по-друге, до інтеграла від другого доданка правої частини можна застосувати узагальнену теорему про середню (f "неперервна, а вираз не змінює знак), по-третє,
В
Отже,
В
Підсумувавши, ліві і праві частини отриманих рівностей при i = 1,2, ..., n, за аналогією із закінченням доведення теореми 5 спочатку одержимо
В
а потім, з урахуванням визначення М2, і необхідну оцінку (15).
Отже, формула трапецій породжує похибки, оцінювані числом . Її точність практично така ж, як і у формули прямокутників з центральними ординатами.
Обчисливши значення вираження з точністю до vn, знаходимо оцінку його повної похибки щодо J:
. [17, c.55] (17)...
