2.2 Облік похибок квадратурних формул методом подвійного
перерахунку
Вище були отримані формули суворої оцінки похибок квадратурних формул. Всі вони придатні лише у випадку аналітично заданої подинтегральной функції і вимагають знаходження максимуму модуля похідних, що часом являє собою далеко не просте завдання. p align="justify"> Існує не пов'язаний з обчисленням похідних спосіб орієнтовної оцінки похибок, застосовний і для інтегралів від табличних функцій. Це так званий метод подвійного перерахунку або метод Руті. p align="justify"> Розглянемо його спочатку для формул прямокутників (2) і (3).
Вибираємо деяке натуральне число п і проводимо обчислення за однією з цих формул двічі: при розбитті відрізка на n і на 2п частин (з кроком відповідно). Позначимо отримані результати через . Ясно, що кращим наближенням буде , яке і вважаємо надалі наближеним значенням інтеграла.
Для залишкового члена , рівного похибки числа , справедливо рівність (14) з деяким числом Нехай значення похідної f 'мало змінюються на відрізку [а; b]. Тоді
[19, c.68] (18)
З урахуванням (18) і очевидних рівностей
= Jn + Rn = J2n + R2n,
отримаємо спочатку
В
а потім,
| [19, c.68] (19)
Таким чином, співвідношення (19) дає приблизну оцінку похибки числа , отриманого за формулою прямокутників з лівими (або правими) ординатами.
Аналогічні оцінки мають місце у випадку інших квадратурних формул. Для формули трапецій і формули прямокутників з центральними ординатами
[19, c.69] (20)
для формули Сімпсона,
[19, c.70] (21)
Вони тим точніше, чим менш значно змінюються на [а; b] друга і відповідно четверта похідні подинтегральной функції.
Хоча співвідношення (19) - (21) вимагають подвійного рахунку по квадратурних формулах, вони практично зручні, особливо при комп'ютерних обчисленнях.
3. Практичне вирішення наближеного обчислення визначеного
інтеграла
Формули чисельного інтегрування
Завдання.
1) Обчислити інтеграл але формулою тр...
