.1 Оцінка похибок
.2.1 Оцінка похибок за формулами трикутників
Тут і далі нам знадобляться наступні теореми.
Теорема 2. (Друга теорема Больцано-Коші). Нехай функція f неперервна на відрізку [а; b], а числа m і М - її найменше та найбільше значення на [а; b]. Тоді для будь-якого числа С, укладеного між т і М, знайдеться точка з [a; b] така, що f (с) = С.
Теорема 3. (Адитивність інтеграла) Якщо a = x0? x1? x2? ...? xn = b, то
В
Теорема 4. (Узагальнена теорема про середнє значення інтеграла). Нехай:
) функція f неперервна на відрізку [а; b], а функція g интегрируема на цьому відрізку;
) функція g не змінює знак на всьому відрізку [а; b]. Тоді існує точка з [а; b] така, що
В
Похибки формул (2) і (3) оцінюються однаково, тому далі праві частини цих формул Jn (i) та їх залишкові члени Rn (i) (i = 1, 2) для простоти будемо записувати без верхніх індексів.
Теорема 5. Якщо подинтегральная функція f має на [а; b] неперервну похідну f 'то оцінка похибок формул (2) і (3) дається нерівністю
[15, c.107] (13)
Де М1 = max f '(x)
На практиці за М1 зазвичай приймають число, яке задовольняє нерівності f '(x) ? М1 для всіх x [a; b].
Про Доказ проведемо для формули (2). Нехай відрізок [а; b] розбитий на п рівних частин [х0; х1], ..., [хn-1; хn] однакової довжини
В
Візьмемо будь-який відрізок [хi-1; хi] (I = 1,2, ..., n). Для всякого х з нього знайдеться залежне від x число сi * [хi-1; х] таке, що f (x) = f (хi-1) + f '(сi *) (x - хi-1) (теорема Лагранжа). Тоді
В
Функція f 'неперервна, а функція g: g (x) = x-xi-1 интегрируема і неотрицательна на [х i-1; хi]. Отже, до інтеграла в правій частині отриманого співвідношення можна застосувати теорему 4 з деяким числом сi [хi-1; хi]:
В
Склавши ліві і праві частини при i = 1,2, ..., п і скориставшись теоремою 3, отримаємо
= h (y0 + ... + yn-1) +
Перший доданок праворуч є Jn, тоді друге - Rn. Число
=
являє собою середнє арифметичне значень функції f 'знаходиться між її мінімальним і максимальним значеннями на [а; b], і тому одно f' (с) для деякого з [ a; b] (теорема 2). Отже...
