уємо для інтеграла (I) формулу (2), в якій вважаємо, - невизначений коефіцієнт, а - многочлен ступеня з невизначеними коефіцієнтами.
. Диференціюючи обидві частини записаного рівності і множимо обидві частини отриманого виразу на.
. Порівнюючи коефіцієнти, при однакових ступенях багаточленів ліворуч і праворуч, знаходимо коефіцієнти многочлена і число.
Використовуючи цей алгоритм, ми в підсумку зведемо інтеграл до інтеграла, який легко знаходиться (виділяємо повний квадрат під коренем і вносимо відповідний вираз під знак диференціала). [4]
ПРИКЛАД 1. Знайти інтеграл. p> Записуємо для даного інтеграла формулу (2):
.
Диференціюючи обидві частини рівності і отримуємо:
В
Гћ.
Множимо обидві частини рівності на і знаходимо:
,
Гћ,
В
Таким чином, отримали
В В
.
ПРИКЛАД 2. Знайти інтеграл. p> Наведемо інтеграл до вигляду (I). Для цього помножимо чисельник і знаменник подинтегральной функції на:
.
Записуємо для даного інтеграла формулу (2):
В
.
Диференціюючи обидві частини рівності і отримуємо:
В
Гћ.
Множимо обидві частини рівності на і знаходимо:
,
Гћ,
В
Таким чином, отримали:
В
.
2.4 Тригонометричні підстановки
Серед інтегралів від ірраціональних функцій велике практичне застосування мають інтеграли виду. Такі інтеграли можна знаходити за допомогою тригонометричних підстановок. p> Виділимо повний квадрат під знаком радикала:
,
а потім зробимо заміну. p align="justify"> В результаті отримаємо один з наступних інтегралів:
або або.
Ці інтеграли у свою чергу зводяться до інтеграла від функції виду. Робиться це за допомогою однієї з трьох підстановок, званих тригонометричними:
) (або) для;
) (або) для;
) (або) для.
Після їх застосування під знаком кореня виявляється квадрат деякої тригонометричної функції, що і дозволяє позбутися від ірраціональності. [7]
ПРИКЛАД 1. Знайти інтеграл. p> Вважаємо. Тоді
і.
Отже,
В
.
Тепер з знаходимо, що і, підставляючи в результат інтегрування, остаточно отримуємо
.
Зауваження. Так як
В
і,
то остаточну відповідь можна записати у вигляді
.
ПРИКЛАД 2. Знайти інтеграл. p> Вважаємо. Тоді
і.
Отже,
.
Щоб знайти вийшов інтеграл, ще раз зробимо заміну. Вважаємо. Тоді, і
В
.
Так як, то вийшов відповідь можна записати у вигляді
В
,
де. Тепер з знаходимо, що і
.
...
