> Тому
= [6]
ПРИКЛАД 3. Обчислити
Положиста, отримаємо.
Таким чином =
.2 Інтегрування біноміальних диференціалів
Диференційним біномом називається вираз виду
,
де - раціональні числа, - дійсні числа.
Як довів П.Л. Чебишев, інтеграл виражається через елементарні функції тільки в трьох випадках:
) - ціле число. Тоді даний інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою заміни, де - загальний знаменник дробів і. p>) - ціле число. У цьому випадку інтеграл раціоналізується за допомогою заміни, де - знаменник дробу. p>) - ціле число. Щоб раціоналізувати інтеграл, необхідно зробити заміну, де - знаменник дробу. p> [5]
ПРИКЛАД 1. Знайти інтеграл. p align="justify"> Це інтеграл від диференційного бінома:
,
де,,. Так як число є цілим, то інтеграл виражається через елементарні функції. Щоб раціоналізувати інтеграл, необхідно зробити заміну. Звідки знаходимо,
і
.
Повертаючись до старої змінної, остаточно отримуємо
.
ПРИКЛАД 2. Знайти інтеграл. p> Це інтеграл від диференційного бінома:
,
де,,. Так як - ціле число, то інтеграл виражається через елементарні функції. Щоб раціоналізувати інтеграл, необхідно зробити заміну. Звідки знаходимо,
і
В
. br/>
З знаходимо, що. Підставляючи цей вираз в результат інтегрування, остаточно отримуємо
.
ПРИКЛАД 3. Знайти інтеграл
Це інтеграл від диференційного бінома
,
де, значить, використовуємо підстановку, отримуємо, що
В
Повертаючись до первісної підстановці, отримуємо
В
.3 Інтегрування функцій виду
Серед інтегралів від ірраціональних функцій велике практичне застосування мають інтеграли виду. Одним із прийомів їх вирішення є метод невизначених коефіцієнтів. p> Інтеграли виду дуже часто вдається звести до обчислення інтегралів наступних трьох типів:
(I), (II),
(III),
де - многочлен ступеня, - натуральне число.
Інтеграли типу (II) і (III) у свою чергу зводяться до інтеграла типу (I). Дійсно, Для інтеграла типу (II) маємо:
В
,
де - деякий многочлен ступеня.
А для приведення інтеграла типу (III) до інтеграла типу (I) застосовують так звану В«зворотний підстановкуВ». Тоді
,
і
,
де - многочлен ступеня,,, - деякі числа.
Тепер розглянемо інтеграли типу (I). Можна довести, що
, (2)
де - деякий многочлен, ступінь якого нижче ніж ступінь многочлена, - деяке число. Це дозволяє використовувати при обчисленні інтегралів (I) наступний алгоритм (метод невизначених коефіцієнтів):
. Запис...
