stify"> Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки і стовпці, то визначник отриманої матриці буде додатковим мінором.
Алгебраїчні доповнення
Визначення. Алгебраїчним доповненням мінору матриці називається його додатковий мінор, помножений на (-1) в ступені, що дорівнює сумі номерів рядків і номерів стовпців мінору матриці. p align="justify"> В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, взятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпчика і рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.
Теорема Лапласа. Якщо вибрано s рядків матриці з номерами i 1 , ..., i s , то визначник цієї матриці дорівнює сумі творів усіх мінорів, розташованих у вибраних рядках на їх алгебраїчні доповнення.
Зворотній матриця
Визначимо операцію ділення матриць як операцію, зворотну множенню.
Визначення. Якщо існують квадратні матриці Х і А одного порядку, що задовольняють умові:
= AX = E,
де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, то матриця Х називається зворотної до матриці А і позначається А -1 .
Кожна квадратна матриця з визначником, що не рівним нулю має зворотну матрицю і притому тільки одну.
Розглянемо загальний підхід до знаходження зворотної матриці.
Виходячи з визначення твори матриць, можна записати:
AX = E Гћ, i = (1, n), j = (1, n), ij = 0, i В№ j, ij = 1, i = j.
Таким чином, отримуємо систему рівнянь:
,
Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.
Приклад. Дана матриця А =, знайти А-1. br/>В
В
Таким чином, А-1 =.
Однак, такий спосіб не зручний при знаходженні зворотних матриць великих порядків, тому зазвичай застосовують наступну формулу:
,
де Мji-додатковий мінор елемента аji матриці А.
Приклад. Дана матриця А =, знайти А-1.A = 4 - 6 = -2. p> 11 = 4; M12 = 3; M21 = 2; M22 = 1
x11 = -2; x12 = 1; x21 = 3/2; x22 = -1/2
Таким чином, А-1 =.
Властивості зворотних матриць
Вкажемо наступні властивості зворотних матриць:
(A -1 ) -1 = A;
(AB) -1 = B -1 A
