n> -1
(A T ) -1 = (A -1 ) T .
Приклад. Дана матриця А =, знайти А3. br/>
А2 = АА ==; A3 ==.
Зазначимо, що матриці і є перестановки.
Приклад. Обчислити визначник. br/>
= -1
= -1 (6 - 4) - 1 (9 - 1) + 2 (12 - 2) = -2 - 8 + 20 = 10.
== 2 (0 - 2) - 1 (0 - 6) = 2.
== 2 (-4) - 3 (-6) = -8 + 18 = 10.
Значення визначника: -10 + 6 - 40 = -44.
Базисний мінор матриці
Ранг матриці
Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається визначник матриці, утвореної з елементів вихідної матриці, що знаходяться на перетині яких - або обраних s рядків і s стовпців.
Визначення. У матриці порядку m ' n мінор порядку r називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r +1 і вище дорівнюють нулю, або не існує зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n.
Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються базисними.
У матриці може бути кілька різних базисних мінорів, що мають однаковий порядок.
Визначення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.
Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними. p align="justify"> Треба відзначити, що рівні матриці і евівалентние матриці - поняття абсолютно різні.
Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків. p align="justify"> Т.к. елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.
Приклад. Визначити ранг матриці. p> ~ ~, RgA = 2.
Приклад: Визначити ранг матриці.
~ ~ ~, Rg = 2.
Приклад. Визначити ранг матриці. br/>
~, Гћ Rg = 2.
Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдалося знайти матрицю, еквівалентну вихідної, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці слід починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У наведеному вище прикладі - це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору. br/>
Теорема про базисному мінорі
