Функцію L (s ,?) можна продовжити в напівплощина Re s> 1
Лемма 1.4. Нехай ? ? ? 0 , тоді при Re s> 0 справедлива рівність
В
Де
В
Доказ. Нехай N? 1, Re s> l. Застосовуючи перетворення Абеля, будемо мати
В
Де
В
Переходячи до межі N? +?, Одержимо (8) при Re s> l. Але | S (x) |? ? (k); тому інтеграл у (3) сходиться в півплощині Re s> 0 і визначає там аналітичну функцію, що й потрібно було довести.
В§ 2. Функція ? ( x ,?), її функціональне рівняння
Функціональне рівняння буде отримано для L (s ,?) з примітивним характером ?; тим самим і в силу леми 3 L (s ,?) буде продовжена на всю s-площину при будь-якому ?. Вид функціонального рівняння залежить від того, парних або непарних є характер ?, т. е. ? (-1) = +1 або ? (- 1) = -1
Перш ніж вивести функціональне рівняння для L (s ,? ) і продовжити L (s < span align = "justify">,? ) на всю s-площину, доведемо допоміжне твердження, аналогічне функціонального рівняння для ? ( х) (див. лему 3, IV).
Лемма 2.1. Нехай ? - примітивний характер по модулю k. Для парного характеру ? визначимо функцію ? ( x, ? ) рівністю
В
а для непарного характеру х визначимо функцію ? 1 ( x ,?) рівністю
В
Тоді для введених функцій ? ( x, ?
