fy">) і ? 1 (x ,?) справедливі наступні співвідношення (функціональні рівняння):
В В
де ? (? ) - сума Гаусса.
Доказ. Скористаємося доведеним в лемі 3, IV рівністю
В
де x > 0,? - речовий.
Маємо
В В
що доводить рівність (6).
Щоб довести рівність (7), продифференцируем почленно (8) і замінимо x на х/к, ? на m/k (зазначені ряди можна почленно диференціювати, так як отримувані після цього ряди рівномірно сходяться). Отримаємо
В
Звідси, як і вище, виводимо
В В В
Лема доведена.
В§ 3. Аналітичне продовження L-функції Діріхле на комплексну площину
Отримаємо аналітичне продовження функції L (s ,?) в область Re s> 0.
Лемма 3.1.Пусть ? ( n) - неглавний характер по модулю m,
В
Тоді при Re s> 1 справедливо рівність
В
Доказ. Нехай N? 1, Re s> 1. Застосовуючи приватна підсумовування, будемо мати
В
Де c (x) = S (x) -1. Так як | c (x) |? X, то, переходячи до межі N , отримаємо
В
Що і потрібно було довести.
В§ 4. Функціональне рівняння для L-функції Діріхле. Тривіальні нулі L-функції Діріхле
Теорема 4.1. (Функціональне рівняння). Нехай ? - примітивний характер по модулю k,
В В
Тоді справедливо рівність
В
Доказ, по-суті, повторює висновок функціонального рівняння для дзета-функції (теорема 1, IV).
Припустимо, що ? (-1) = +1. Маємо
В
Примножуючи останнє рівність на ? ( п) і підсумовуючи по п, при Re s> 1 отримаємо
В
З огляду на те, що ? - парний характер, маємо
В В
Розбиваючи останній інтеграл на два, виробляючи в одному з них заміну змінної інтегрування...
