ю питомої потенційної енергії деформації, яка дорівнює
третій доданок є друга варіація яка з посиланням на ту ж формулу дорівнює
де - питома потенційна енергія деформації, яка
В
мала б місце, якби тіло піддалося тільки переміщенням як позитивно-визначена квадратична форма
0
Враховуючи (8) і (12), прирощення функціоналу буде
В В
що й потрібно показати.
Звідси випливає, що з усіх можливих переміщень, тобто задовольняють умові суцільності тіла і приймаючих задані значення на дійсними будуть ті, при яких функціонал < span align = "justify"> має мінімум. У цьому і полягає принцип мінімуму потенційної енергії.
Таким чином, задача визначення функції відповідних рівноваги лінійно-пружного тіла при заданих зовнішніх силах і зведена до варіаційної задачі.
Принцип мінімуму додаткової роботи
Тіло об'ємом і обмежене поверхнею знаходиться в рівновазі під дією прикладених до нього масових сил і поверхневих сил на частини. Нехай деформований стан тіла визначається переміщеннями а його напружене совтояніе - компонентами тензора напружень, які в обсязі повинні задовольняти рівнянням рівноваги
В
і граничним умовам
В
Піддамо компоненти дійсного тензора напрузі довільній варіації, але такий, щоб суміжне напружений стан, що характеризується компонентами було статично можливим при тих же заданих зовнішніх силах, тобто повинні задовольнятися рівняння рівноваги і граничні умови:
В
З зіставлення рівностей (13) і (15), а також (14) і (15) випливає, що варіації в обсязі повинні задовольняти однорідним рівнянням рівноваги
В
і граничним умовам
В
На решті частини поверхні тіла, на якій задані не поверхові сили, а переміщення, варіації можуть бути довільними:
В
При переході до суміжного напруженому стану зміна додаткової роботи деформації тіла буде
В
Розкладемо вираз питомої додаткової роботи для зміненого напруженого стану в ряд Тейлора:
В
Останній доданок рівності (26) є другою варіацією питомої додаткової роботи, і можна записати так:
В
Отже, друга варіація - істотно позитивна величина ...
