ргії деформації тіла, тобто
В
де W - питома потенційна енергія деформації тіла, яка дорівнює вільної енергії при ізотермічному процесі деформування і внутрішньої енергії при адіабатичному деформуванні.
Можливими переміщеннями у разі суцільного тіла є будь-які малі переміщення, які задовольняють умовам безперервності тіла і умовам переміщень на поверхні тіла, тобто безупинні разом зі своїми похідними першого порядку і повинні звертатися в нуль на частині поверхні тіла, де задані переміщення . Тому
(9)
При повідомленні точках тіла малих можливих переміщень задані сили і при яких тіло знаходиться в рівновазі, розглядаються постійними. Тому в області V зайнятої тілом, а на частині поверхні тіла. Отже, маємо
(10)
Тоді знак варіації, оскільки іфіксіровани, можна винести за знак інтегралів і рівність (8), враховуючи також (9) і (10), можна привести до вигляду
(11)
Рівняння (11) називається варіаційним рівнянням Лагранжа.
Попередні міркування і рівняння (11) справедливі для будь-якого пружного тіла.
Варіаційне рівняння Лагранжа (11) у випадку консервативних зовнішніх сил можна записати в наступному вигляді;
В
рівна різниці потенційної енергії деформації тіла і роботи прикладених до нього зовнішніх сил на статично відповідних їм переміщеннях, називається потенційною енергією системи. Як вже відомо, питома потенційна енергія деформації представляє собою у разі лінійно-пружного тіла позитивно-визначену квадратичну функцію компонент тензора деформації які вплутався про переміщеннями диференціальними залежностями .
Потенційна енергія системи являє собою функціонал, що залежить від функцій та їх похідних.
З рівності (13) випливає, що з усіх можливих переміщень дійсними, відповідними рівноваги тіла при заданих зовнішніх силах, будуть ті переміщення, при яких функціонал приймає стаціонарне значення.
Покажемо, що у разі лінійно-пружного тіла умова (13) перетворюється на умова мінімуму потенційної енергії. Для цього достатньо переконатися, що при повідомленні варіацій дійсним переміщенням прирощення функціоналу буде позитивним, т. е.
В
Оскільки зовнішні вила і постійні, то при повідомленні варіацій маємо:
В
Для визначення приросту питомої потенційної енергії деформації функцію розкладемо в ряд Тейлора
В
Тут в правій частині рівності другий доданок являє собою першу варіаці...
