x, y, z, у якого сторона
(4) z
Гіпотенуза разомкнутого прямокутного трикутника примикає до катету. У разомкнутого прямокутного трикутника
(5) z2
Умов (3) і (5) задовольняє також гострокутий трикутник, що має сторони x, y, z і протилежний стороні z кут z, причому
(6) ?/3
Цей трикутник можна отримати шляхом змикання сторін разомкнутого прямокутного трикутника.
Рішення отриманого гострокутного трикутника щодо боку z
(7) z2 = x2 + y2 - 2xycos z
Звідси алгебраїчним перетворенням отримуємо
(8) zn = (x2 + y2 - 2xycos z) n/2
В результаті можна записати
(9) zn = xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z) n/2
Велика теорема Ферма в інтерпретації кількісного співвідношення числа одиничних об'єктів має тотожність в геометричній інтерпретації співвідношення довжини сторін трикутника.
Трикутник, згідно (5), можна перетворити в прямокутний трикутник зі сторонами zn, xn і yn множенням довжини кожної зі сторін на коефіцієнти zn-1, xn-1 і yn-1 відповідно. Його рішення буде мати вигляд
(10) z2n = x2n + y2n
Якщо сторони цього трикутника зменшити до величин zn/2, xn/2 і yn/2, то по зворотній аналогією з (2) отримаємо розімкнутий прямокутний трикутник, у вирішенні якого
(11) zn
Але це значення zn нами вже отримано алгебраїчним перетворенням, (9).
Велика теорема Ферма спростована, якщо одночасно виконуються умови (9) та (11), тобто
(12) zn
Очевидно, що (12) суперечить (9). Умова спростування Великої теореми Ферма не виконана, отже, ця теорема вірна. p align="justify"> Розширення Великої теореми Ферма.
Прийнявши за основу перший варіант докази, розглянемо вираз (11)
? xn + yn = (x2 + y2 - 2xycos z) n/2 в області значень n? 2.
При n = 2 гострокутий трикутник перетворюється на прямокутний трикутник.
В області значень 1 ?/2. У цій області Велика теорема Ферма буде мати вигляд
(1) zn? xn + yn при 1
При показнику ступеня n <2
(2) z1n = (x2 + y2) n/2
(3) Очевидно, що у формулі
