> теж повинна бути дорівнює нулю, отже
- точка мінімуму.
Задача 7. Вирішити завдання з рухомими кінцями
В
Випишемо, як годиться, функцію Лагранжа:
В
Скористаємося рівнянням Ейлера-Лагранжа для розв'язання задачі з рухомими кінцями:
.
В В
Скористаємося умовами трансверсальності:
В
Порахуємо кожен елемент:
Тоді умови трансверсальності запишуться:
В
Запишемо умова стаціонарності:
В
Нехай Тоді також дорівнюють нулю - ні рішень.
Нехай , тоді:
В
Якщо , знайдемо константи, використовуючи крайові умови:
,
В
У рівняння стаціонарності також підставимо , використовуючи рівняння, написане вище:
В В
Розглянемо , тоді а - що є неприпустимим значенням
Розглянемо , тоді і
Отже, ми отримали:
,
; ,
Досліджуємо екстремаль на предмет доставляння функції максимуму/мінімуму:
В В В
Скористаємося і h (0) = 0 (в силу накладеного обмеження на лівий кінець).
Також, варто висловити значення з рівняння , пам'ятаючи, що , а
В В В В
Отже:
В В
В
- отже знайдена точка є точкою мінімуму.
Завдання 8. Вирішити завдання Лагранжа
; , ,
Використовуємо заміну змінних , тоді умова запишеться:
; ,
