о при її розрахунку використовуються всі mn спостережень, пов'язані між собою m рівняннями (4). Таким чином, S12 = Q1/(m-1), S22 = Q2/(mn-m). p align="justify"> Знайдемо математичні очікування середніх квадратів S12 і S22, підставивши в їх формули вираз xij (1) через параметри моделі.
M (S12) ==
== +
+ + =
= + (9)
(= 0 з урахуванням властивостей математичного сподівання, а = n M = n = n =).
M (S22) ===
====. (10)
Таблиця 1.1. Схема дисперсійного аналізу
компонує-ти дісперсііСумма квадратовЧісло ступенів свободиСредній квадратМатематіческое очікування середнього квадратаМеж-групповаяQ1 = nm-1S12 == M (S12) == +
+ (модель1) (S12) =
(модель2)
Усередині-групповаяQ2 = mn-mS22 == M (S22) = ОбщаяQ = mn-1
Для моделі 1 з фіксованими рівнями фактора Fi (I = 1, 2, ..., m) - величини невипадкові, тому
M (S12) = +.
Гіпотеза H0 прийме вигляд Fi = F * (i = 1, 2, ..., m), тобто вплив усіх yровня фактора одне і те ж. У разі справедливості цієї гіпотези
M (S12) = M (S22) =.
Для випадкової моделі 2 доданок Fi у виразі (1) - величина випадкова. Позначаючи її дисперсію
, отримаємо з (9)
M (S12) =, (11)
і, як і в моделі 1, M (S22) =. У разі справедливість нульової гіпотези H0, яка для моделі 2 приймає вигляд = 0, маємо:
M (S12) = M (S22) =.
Отже, у разі однофакторного комплексу як для моделі 1, так і моделі 2 середні квадрати S12 і S22 є незміщеними і, як можна показати, незалежними оцінками однієї і тієї ж дисперсії.
Отже, перевірка нульової гіпотези Н0 звелася до перевірки суттєвості відмінності незміщених вибіркових оцінок S12 і S22 дисперсії.
Гіпотеза Н0 відкидається, якщо фактично розрахований значення статистики F = більше критичного, визначеного на рівні значущості при числі ступенів свободи k2 = mn-m, і приймається, якщо F.
Стосовно до даної задачі спростування гіпотези Н0 означає наявність істотних відмінностей в якості виробів різних партій на розглянутому рівні значущості.
Зауваження. Для обчислення сум квадратів Q1, Q2, Q часто буває зручно використовувати такі формули:
Q1 =, (12)
Q2 =, (13)
Q =, (14)
тобто самі середні, взагалі кажучи, знаходити не обов'язково.
1.3 Двохфакторну дисперсійний аналіз
Припустимо, в задачі про якість різних (т) партій вироби виготовлялися на різних (l) верстатах і потрібно з'ясувати, чи є суттєві відмінності в якості виробів по кожному фактору: А - партія виробів, В - верстат . У результаті ми приходимо до задачі двухфактор...
