я (yi) - з кроком інтегрування h і при зменшеній (наприклад, двоє) величині кроку .
В якості критерію стійкості можна використовувати малість відносної зміни отриманого рішення при зменшенні кроку інтегрування (? - наперед задана мала величина ).
Така перевірка може здійснюватися і для всіх рішень на всьому інтервалі значень x. Якщо умова не виконується, то крок знову ділиться навпіл і знаходиться нове рішення і т.д. до отримання стійкого рішення. br/>
2. Практичне завдання
Методом Адамса четвертого порядку точності на відрізку [0; 1] з кроком h = 0,1 вирішити завдання Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку y '= x + y, y (0) = 1.
Рішення:
. Знайдемо точне рішення диференціального рівняння для перевірки рішення методом Адамса. Зробимо заміну змінної:
,
тоді
В
(*).
Прирівняємо до нуля вираз в дужках:
(постійну інтегрування тут можна опустити). p align="justify"> Підставляємо отримане рішення в рівняння (*):
В
Для знаходження інтеграла застосовуємо формулу інтегрування частинами:
.
В результаті і
.
Для визначення постійної інтегрування використовуємо початкова умова:
, звідки С = 2.
В результаті приватне рішення диференціального рівняння можна записати у вигляді:
.
. Для рішення рівняння методом Адамса 4-го порядку використовуємо таку інтерполяційну формулу:
+1 = yi + h (55y'i - 59y'i-1 + 37y'i-2 - 9y'i-3)/24.
Так як екстраполяціонний метод Адамса 4-го порядку є багатокроковим методом, то для формування вектора початкових значень шуканої функції (це перші 4 значення), будемо використовувати метод Рунге-Кутта. Для методу Рунге-Кутта інтерполяційна формула має вигляд:
,
де
,
,
,
.
