орів таких, що вагова функція w приблизно пропорційна гиббсовской фактору. Але, на жаль, метод істотної вибірки, описаний вище, не може бути використаний для обчислення багатовимірних інтегралів по конфігураційним просторів, як у рівнянні. Причина в тому, що невідомо, як побудувати таке перетворення з в, яке дозволило б генерувати точки в конфігураційному просторі з щільністю ймовірності, пропорційної гиббсовской фактору. Необхідна умова для вирішення цієї проблеми - це можливість порахувати аналітично статистичну суму досліджуваної системи. Якби ми могли це зробити, то навряд чи була б необхідність в комп'ютерному моделюванні.
Метод Метрополіса
У попередньому розділі згадувалося, що в загальному випадку неможливо обчислити інтеграл типу прямим відбором Монте-Карло. Однак, у багатьох випадках достатньо знати ставлення інтегралів:
. ()
Так, Метрополіс показав, що можливо розробити схему Монте-Карло для обчислення подібних відносин інтегралів.
Позначимо конфігураційну частину статистичної суми Z :
. ()
Відзначимо, що в рівнянні - щільність ймовірності знайти систему в конфігурації навколо.
Припустимо, що якимось чином можна генерувати точки в конфігураційному просторі згідно з розподілом ймовірності. Це означає, що в середньому число точок n i генерованих в одиниці об'єму навколо точки, одно, де L - загальне число згенерованих точок. Іншими словами:
. ()
Розглянемо, яким чином генерувати точки в конфігураційному просторі з відносною ймовірністю, пропорційною больцманівських фактору. Для початку необхідно підготувати систему в конфігурації, яку позначимо про і яка має відмінний від нуля больцманівська фактор. Ця конфігурація, наприклад, може відповідати регулярної кристалічній решітці без перекриттів. Потім генеруємо пробну конфігурацію, яку позначимо n , шляхом невеликого випадкового зсуву o конфігурації. больцманівська фактор пробної конфігурації. Тепер необхідно визначитися з правилом, за яким ця пробна конфігурація буде прийматися чи відхилятися.
Розглянемо схему Метраполіса. Нехай - ймовірність переходу з конфігурації o в n ; m - число точок конфігурації o . Ми хочемо, щоб у середньому m було пропорційно N . Матричні елементи повинні задовольняти очевидному умові: вони не повинні руйнувати рівноважного розподілу, якщо таке встановилося. Це означає, що в рівновазі середнє число прийнятих пробних переміщень із системи про має дорівнювати числу прийнятих пробних переміщень з n в про , тобто:
. (31)
Позначимо - ймовірність здійснити пробне переміщення з про в n , де зазвичай називають основною матрицею ланцюга Маркова. Позначимо ймовірність прийняття пробного переміщення з про в n . Таким чином:
. ()
Якщо симетрична, тобто , То можна переписати:
. (33)
Звідки випливає, що
. ()
Існує безліч варіантів, що задовольняють цій умові. Згідно Метрополіс:
. (35)
Підсумовуючи, у схемі Метрополіса ймовірність переходу з о в n:
(36)
.
Припустимо, що було згенеровано пробне переміщення з U> ...
