i> 2 . Після заміни отримаємо: (I).
Це рівняння називається рівнянням еліпсоїда. При a> b рівняння (I) визначає еліпсоїд обертання, витягнутий уздовж осі ОХ (додаток 1 мал. 9), при a < b - еліпсоїд обертання стиснений вздовж осі ОХ (додаток 1 рис.10), при a=b рівняння визначає сферу (додаток 1 рис.11).
Однопорожнинний і двуполостной гіперболоіди обертання
Нехай в площині ХОУ дана гіпербола, задана рівнянням. При обертанні гіперболи навколо однієї з її осей вийде поверхня обертання, звана гіперболоїдом обертання.
При обертанні гіперболи навколо її дійсної осі (ОХ), виходить двуполостной гіперболоїд, щоб отримати його рівняння необхідно (достатньо) в рівнянні гіперболи y 2 замінюється на y 2 + z 2 . Після заміни отримаємо:. Двуполостной гіперболоїд зображений у додатку 1 рис.12.
При обертанні гіперболи навколо її уявної осі (ОУ), виходить однопорожнинний гіперболоїд. Для отримання рівняння поверхні однополостного гіперболоїда потрібно в рівнянні гіперболи замінити x 2 на x 2 + z 2 після заміни отримаємо. Однопорожнинний гіперболоїд зображений у додатку 1 рис 13.
Параболоїд обертання
Поверхня яка виходить при обертанні параболи навколо її осі симетрії називається параболоїдом обертання. Нехай на площині ХОY парабола задана рівнянням:. Параболоїд можна обертати навколо осі OY. При обертанні параболи навколо осі ОY необхідно замінити в рівнянні x 2 на x 2 + z 2 ,, після заміни отримаємо рівняння: - це рівняння еліптичного параболоїда, він зображений у додатку 1 рис.14.
Конічна поверхню
Поверхня яка виходить при обертанні прямій не паралельної осях координат називається конічною. Нехай на площині ХОY пряма задана рівнянням ky=x, де k коефіцієнт при y, зведемо дане рівняння в квадрат одержимо: ky 2 =x 2 . При обертанні даної прямої навколо осі OY, замінимо x 2 на x 2 + z 2 одержимо рівняння конуса: x 2 -ky 2 + z 2 =0 . Його зображення представлено в додатку 1 рис.15.
Циліндрична поверхня
Поверхня, яка виходить при обертанні прямої паралельної одній з осей координат, називається циліндричної. Нехай на площині ХОY пряма паралельна осі OY задана рівнянням, k число, зведемо рівність в квадрат: при обертанні даної прямої навколо осі OY, замінимо x 2 на x 2 + z 2 одержимо рівняння циліндра:. Його зображення представлено в додатку 1 рис.16.
1.2.2 Аналітичний спосіб
Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд:, де A / , G / , B / , M / , K / , C / , N / , T / , L / , D / - коефіцієнти.
В результаті заміни координат можна спростити рівняння. Поворотом осей координат можна домогтися, щоб рівняння поверхні не містило доданка з твором змінних xy, xz, yz. Після повороту рівняння прийме вигляд:
...
