Для подальшого спрощення рівняння скористаємося паралельним переносом. За допомогою нього можна домогтися того, щоб коефіцієнти при x, y, z звернулися в нуль, тоді рівняння прийме наступний вигляд: - канонічний вигляд рівняння поверхні другого порядку.
Отже, загальне рівняння поверхні другого порядку в залежності від значень коефіцієнтів A / , G / , B / , M / , K / , C / , N / , T / , L / , D / і перетворенням площини можна привести до одного з видів:
...
III.
Для поверхні обертання другого порядку, розташованої в канонічній системі координат, при її перетині площинами, паралельними небудь координатної площині, повинні виходити окружності, в такому випадку дослідження рівняння полягатиме в тому, щоб визначити за яких коефіцієнтах рівняння поверхні другого порядку відповідатиме хоча б одній з умов:
1.- Рівняння кола
.- Рівняння кола
.- Рівняння кола
Досліджуємо рівняння I.
. Нехай, D <0, A> 0, B> 0, C> 0, тоді рівняння буде мати наступний вигляд:, розділимо це рівняння на одержимо рівняння:. Замінимо: на, на, на, одержимо рівняння наступного вигляду: - це рівняння еліпсоїда. Отримане рівняння може бути рівнянням еліпсоїда обертання при виконанні таких умов:
) При отримаємо наступне рівняння:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатної площині XOY в інтервалі - c виходять окружності.
) При отримаємо наступне рівняння:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатної площині XOZ в інтервалі - b отримаємо окружності.
) При отримаємо наступне рівняння:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатної площині ZOY в інтервалі - a отримаємо окружності.
) При одержимо рівняння сфери, яке має вигляд:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатним площинам XOY, XOZ, ZOY в інтервалі - c , -a отримаємо окружності.
) При подальшому прирівнювання коефіцієнтів до нуля будемо отримувати лінії другого порядку:
,
,
.
Досліджуємо одне з рівнянь:
Нехай, D <0, A> 0, B> 0, тоді рівняння буде мати наступний вигляд:, розділимо це рівняння на одержимо рівняння:. Замінимо: на, на, одержимо рівняння наступного вигляду: - це рівняння еліптичного циліндра. Отримане рівняння може бути рівнянням поверхні обертання другого порядку при виконанні наступного умови:, тоді отримаємо наступне рівняння:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатної площині XOY в інтервалі - c отримаємо окружності.
2.Пусть, A> 0, B> 0, і отримаємо рівняння:, розділимо обидві частини рівняння на, одержимо:. Замінимо: на, на, на, одержимо рівняння наступного вигляду: - це рівняння однополостного гіперболоїда. Отримане рівняння може бути рівнянням поверхні обертання другого порядку при виконанні наступного умови: при, тоді отримаємо наступне рівняння:, при перетині даної поверхні другого порядку площинами паралельними координатної площині XOY в інтерва...
