.
Методи решение систем лінійніх рівнянь:
1. Прямі (метод Гаусса, метод Гаусса з Вибори головного елемента)
2. Ітераційні (методи ітерації, Зейделя)
Розглянемо метод Гаусса - алгоритм послідовного віключення невідоміх. Нехай - ведучий елемент. Розділімо КОЕФІЦІЄНТИ Першого рівняння системи (2.2.4) на, отрімаємо:
(2.2.5)
де ().
Віключімо Із системи (2.2.4) невідому: помножімо рівняння (2.2.5) на і віднімемо з іншого рівняння системи (2.2.4); на і віднімемо з третього рівняння системи (2.2.4); на - з четвертого рівняння системи (2.2.4), одержимо:
(2.2.6)
де.
Проведемо ті ж міркування для системи (2.2.6).- Ведучий елемент. Розділімо на УСІ КОЕФІЦІЄНТИ Першого рівняння системи (2.2.6), одержимо:
(2.2.7)
де.
Віключімо, аналогічно, Із системи (2.2.6), одержимо:
(2.2.8)
де.
Розділімо КОЕФІЦІЄНТИ Першого рівняння системи (2.2.8) на ведучий елемент, отрімаємо:
(2.2.9)
де.
Віключімо Невідоме Із системи (2.2.8), одержимо:
(2.2.10)
де.
З (2.2.10) одержимо:
(2.2.11)
Інші Невідомі послідовно візначаються з рівнянь (2.2.9), (2.2.7), (2.2.5):
Отже, процес решение лінійної системи за методом Гауса зводіться до побудова еквівалентної системи (2.2.5), (2.2.7), (2.2.9), (2.2.11), что має трикутна матрицю.
Необхідна и Достатньо Умова застосовності методу: нерівність нулю усіх ведучих ЕЛЕМЕНТІВ.
Обчислення помістімо в таблиці (2.2.1), схема Якої назівається схемою єдиного розподілу.
Таблиця (2.2.1) - Схема єдиного розподілу
Процес знаходження Коефіцієнтів трікутної системи назівають прямим ходом, процес одержании значень невідоміх - зворотнього ходом.
Опішемо послідовність Заповнення схеми єдиного розподілу.
Віпішемо КОЕФІЦІЄНТИ системи, включаючі Вільні члени (Розділ). Останній рядок розділу А являє собою результат розподілу Першого рядка на.
Елементи Наступний розділу Рівні різніці відповідніх ЕЛЕМЕНТІВ попередня розділу и добуток їх «проекцій» на виряджай розділу, що містять елемент 1 (тоб на перший стовпець и Останній рядок).
Останній рядок розділу А1 находится путем розділу ее Першого рядка на ведучий елемент. І так далі, пока не одержимо Розділ, что Складається з одного рядка (Розділ).
При зворотнього ході Використовують позбав рядки розділів, утрімуючі одініці (відзначені рядки) починаючі з Останньоі. Елемент з розділу, что находится в стовпці вільніх членів відзначеного рядка розділу, Дає значення. Далі, крок за кроком знаходяться помощью Вирахування з вільного члена відзначеного рядка суми добутків ее Коефіцієнтів на відповідні Значення раніше знайдення невідоміх. Значення невідоміх послідовно віпісуються в Розділ В.
Розставлені там одініці допомагають знаходіті для відповідні КОЕФІЦІЄНТИ у відзначеніх рядках.
Для контролю обчислень Використовують контрольні суми
, (2.2.13)
поміщені в стовпці и вміщаючі в Собі суму ЕЛЕМЕНТІВ рядків матріці віхідної системи (2.2.6), включаючі Вільні члени.
Если Прийняти за Нові Вільні члени в Системі (2.2.6), ті перетворена лінійна система
