p>.
1.6 Перетворення рівняння до ітераційного увазі
Рівняння=0 перетвориться до вигляду, придатного для ітераційного процесу, наступним перетворенням
де відмінна від нуля константа.
В цьому випадку
(1.15)
Функція повинна задовольняти умовам теореми 1.2. Диференціюючи (1.15), отримаємо
(1.16)
Для виконання умови 3 теореми 1.2 досить підібрати так, щоб для всіх
(1.17)
1.7 Рішення рівнянь методом простої ітерації в пакеті Mathcad
Продемонструємо використання методу простої ітерації на прикладі знаходження кореня рівняння
1. Завдання функції, що стоїть в правій частині (1.1):
2. Завдання функції відповідно до (1.15):
3. Завдання функції відповідно до (1.16):
.
4. Побудова графіків функцій (рисунок 1.7).
Малюнок 1.7 - Графіки функцій і
5. Завдання функції, що реалізує обчислювальну схему методу простої ітерації на кожному кроці ітераційного процесу (малюнок 1.8).
Малюнок 1.8 - Функція, що реалізує обчислювальну схему методу простої ітерації
6. Завдання функції, що стоїть в правій частині (1.15):
7. Завдання початкового наближення:
8. Обчислення значень кореня рівняння на кожному кроці ітераційного процесу:
9. Візуалізація ітераційного процесу (малюнок 1.9):
Малюнок 1.9 - Залежність значення кореня рівняння від номера кроку ітераційного процесу
10. Висновок точного значення кореня:.
11. Висновок значення функції:.
1.8 Метод хорд
Приклад 1.2
Вирішити рівняння методом хорд з точністю
1. Відділяємо коріння . Цей етап рішення здійснюється за допомогою аналітичного або графічного методу. Після того як корінь, який підлягає уточненню, відділений, за початкове наближення може бути обрана будь-яка точка (початок відрізка, його середина і т. д.).
Скористаємося графічним методом. Побудуємо графік функції і знайдемо точки перетину його з віссю Ох (малюнок 1.10).
Малюнок 1.10 - Відділення коренів графічно
Отримали два інтервали: Інтервал, у якому ми будемо уточнювати корінь -
2. Уточнюємо коріння. Знаходимо першу похідну функції
:
3. Визначаємо знаки на відрізку:
Малюнок 1.11 - Перевірка критерію досягнення заданої точності
Значить, на даному відрізку дійсно існує корінь нашого рівняння.
4. Будуємо послідовність значень з використанням рекурентної формули методу хорд і проаналізуємо результати обчислених значень послідовності (рису...
