ачень аргументу ряд Фур'є-Лагера значно поступається ряду Фур'є-Лежандра.
Глава 3. Властивість інтегралів від ортогональних многочленів Лежандра
.1 Інтеграли від многочленів Лежандра
У ході застосування многочленів Лежандра, ми зіткнулися з цікавим фактом.
Ясно, що в силу непарності ортогональних многочленів непарного ступеня на розглянутому проміжку:
(через будемо позначати многочлен Лежандра):
Цікаво, наступне:
.
Тобто:
Підтвердження цих фактів ми не змогли знайти в літературах. Наведемо власний варіант докази.
Для многочленів Лежандра справедливо тотожність (див. наприклад: І.П. Натансон, Конструктивна теорія функцій. М. 1949.) стор 386, тотожність (130):
Нехай. Тоді
так як,
Тобто для парних многочленів Лежандра площа замкнутої області над віссю в проміжку дорівнює площі області під віссю.
Розглянемо
тут скористалися формулою
(Суетин П.К. Класичні ортогональні многочлени, М., Наука, 1979.), стор 120, формула (15).
Доведемо, що при,.
Для цього, застосуємо наступні відомі співвідношення: Формула подвоєння (формула Лежандра): і граничне співвідношення:.
Тобто,.
Підтвердимо доведені затвердження на прикладах в середовищі Mathcad:
Тут
- значення інтеграла від многочлена Лежандра ступеня по відрізку обчислене за допомогою вбудованої в Mathcad функції (видає тільки наближене значення);
- значення інтеграла від многочлена Лежандра ступеня по відрізку обчислена за допомогою рекурентної формули (видає символьне значення);
- значення інтеграла від многочлена Лежандра ступеня по відрізку обчислена за допомогою доведеною формули (видає символьне значення);
- абсолютна похибка між точним значенням інтеграла від многочлена Лежандра ступеня по відрізку і наближеним значенням.
Висновок
Створені документи Mathcad (програми) в яких реалізовані явні вирази для ортогональних систем Лежандра і Лагера. При цьому з отриманими результатами можна виробляти деякі аналітичні перетворення. На кількох прикладах показано робота програм для розкладання функцій в ряди Фур'є-Лежандра і ряди Фур'є-Лагера. Реалізовано розкладання довільній функцій в ряд Фур'є-Лежандра на довільному відрізку.
З прикладів можна припустити деякі висновки:
Порівняно з тригонометричним рядом Фур'є, явище Гіббса для ряду Фур'є-Лежандра виражено менш слабо;
Приватні суми рядів Фур'є-Лагера навіть невисоких порядків для малих значень аргументу краще наближають функцію. А для великих значень аргументу ряд Фур'є-Лагера значно поступається ряду Фур'є-Лежандра.
Повністю доведено одна властивість багаточленів Лежандра довільного порядку.
Список використаної літератури
1.Алексіч Р., Проблеми збіжності ортогональних рядів, Переклад з англійської А.В.Ефімова, під редакцією П.Л.Ульянова, Видавництво Іноземної Літератури, М. - 1963.
. Геронимус Я.Л., Багаточлени, ортогональні на колі і на відрізку. Оцінки, асимптотичні формули, ортогональні ряди., Державне видавництво фізико-математичної літератури, М. - 1958.
. Джексон Д., Ря...
