ормули для деяких класичних многочленів:
1) У разі многочленів Лаггера:
,
де,,.
) У разі многочленів Лежандра:
, де,
Глава 2. Реалізація в середовищі Mathcad
.1 Багаточлени Лежандра і Лагера
Опишемо реалізацію отримання многочленів Лежандра в середовищі Mathcad.
Використовуючи засоби вбудованого програмування [n] (викликається панеллю
опишемо рекуррентную формулу:
Зробимо перевірку:
Так як Mathcad видає результат в «упакованому» вигляді, справили перетворення за допомогою вбудованих засобів аналізу:
Отриманий вираз збігається з відомою формулою [n].
Одночасно ми показали, що з отриманими виразами для многочленів Лежандра можна виробляти аналітичні перетворення (інтегрування та диференціювання).
Таку можливість не можна виробляти з вбудованим в самому Mathcad е многочленом Лежандра:
Справедливість нашого вираження підтверджується графіком:
Аналогічно, вводяться многочлени Лагера (так як в Mathcade многочлени Лагера тільки у випадку, для порівняння ми також покладемо
).
.2 Ряд Фур'є-Лежандра
Покажемо на прикладі як за допомогою введених виразів для многочленів Лежандра отримувати розкладання довільної функції (задовольняють умові збіжності) на відрізку [- 1; 1]:
Візьмемо функцію. Вираз для коефіцієнтів Фур'є-Лежандра [n]:
Тоді приватні суми рядів Фур'є-Лежандра виражаються у вигляді:
.
У середовищі Mathcad виглядає наступним чином:
Тут - коефіцієнти Фур'є-Лежандра, - приватна сума ряду Фур'є-Лежандра го порядку.
Так як Mathcad не може відразу видати явні вирази для, то для їх отримання доводиться вручну вводити необхідну суму:
Наведемо отримані результати на графіках:
.3 Ряд Фур'є-Лагера
Так як многочлени Лагера визначені на полуінтервале, то покладемо.
2.4 Ряд Фур'є-Лежандра на довільному відрізку
Для отримання ряду Фур'є-Лежандра на довільному відрізку необхідно взаємно-однозначно відобразити відрізок на відрізок.
Приклад 1. Розкладемо в проміжку функцію в ряд Фур'є Лежандра:
Для приватної суми 3-го порядку приведено аналітичний вираз. Сума 7-го порядку на графіку майже не відрізняється від.
Приклад 2.
Порівняємо на прикладі розривної функції ряд Фур'є-Лежандра з тригонометричним рядом Фур'є:
Помітно, що явище Гіббса для ряду Фур'є-Лежандра виражено менш слабо.
Приклад 3.
Порівняємо поведінки рядів Фур'є-Лежандра і Фур'є-Лагера для функції на відрізках і:
Тут приватні суми ряду Фур'є-Лагера 3-го і 13-го порядків;
приватні суми ряду Фур'є-Лежандра 3-го і 13-го порядків;
Видно, що приватні суми рядів Фур'є-Лагера навіть невисоких порядків для малих значень аргументу краще наближають функцію. А для великих зн...
