>
Доказ:
.
.
Формули обчислення кривизни та кручення кривої в разі натуральної параметризації.
Крива задана:,,,
.
.
Формули для кривизни та кручення в разі довільної параметризації.
Крива задана:.
Позначення:
.
.
, так як
,
.
.
.
Завдання № 15 (стор. 11).
б).
.
.
Затвердження 4.
Крива лежить в одній площині в кожній точці цієї кривої.
Доказ:
Нехай крива лежить в площині лежать в цій площині.
Нехай лежать в одній площині лежить в одній площині в будь-якій точці кривої крива плоска.
Визначення: Точка просторової кривої називається точкою випрямлення, якщо в цій точці k=0.
Визначення: Точка просторової кривої називається точкою уплощения, якщо в ній.
Плоскі криві.
Нехай крива цілком лежить у площині xOy.
Крива задана:
параметричне завдання.
параметричне завдання плоскої кривої.
виключимо t:
- неявне рівняння плоскої кривої.
Обчислимо (вона дорівнює 0):
.
Висловимо y:
- завдання явної функції у вигляді графіка.
Визначення: Точка називається особливою точкою плоскої кривої, заданої неявним рівнянням, якщо в ній виконуються рівності:
.
Якщо - не виключна точка:
- кутовий коефіцієнт дотичної.
В особливій точці k не знаходиться.
Проблема: знаходження кутового коефіцієнта в особливій точці.
Класифікація особливих точок плоскої кривої.
.
Продифференцируем по t:
,,,.
Розглянемо в особливій точці:
,
.
. . Рівняння (34) не має рішень. У точці немає дотичній, отже, точка - ізольована ... Рівняння (34) має 2 рішення. Має 2 дотичні, отже, через точку проходить 2 гілки кривої. Точка називається вузловою. ..) - Ізольована.
Приклад:
(останні дві крапки не належать кривої).
(0,0) - особлива точка.
.
b) Точка повернення 1-го роду.
В особливій точці обидві гілки кривої мають спільну дотичну, але перебувають по одну сторону від нормалі, і по різні сторони від дотичній.
Приклад:.
c) Точка повернення 2-го роду.
У ній обидві гілки знаходяться по одну сторону від нормалі і по одну сторону від дотичної.
d) Точка самопрікосновенія.
e)
однопараметричним сімейство плоских кривих.
Визначення: однопараметричним сімейством плоских кривих називається безліч кривих на площині, що задовольняють неявному рівняння:
,
де а - параметр.
Приклади:
.
2.
Визначення: Плоска крива, яка в кожній своїй точці стосується деякої кривої однопараметричного сімейства кривих, називається обвідної цього сімейства.
Визначення: Крива на площині, яка...
