задовольняє системі рівнянь:
,
де рівняння ОПСК, називається дискримінантної кривої сімейства.
Теорема 1.
1) Що огинає ОСПК, якщо вона існує, є дискримінантної кривої цього ОСПК,
2) Будь-яка дискримінантний крива ОСПК є обвідної, якщо вона не складається з особливих точок кривих сімейства.
Доказ:
1) Нехай - огинає ОСПК
по параметру а:
.
Розглянемо точку дотику деякої кривої сімейства і огинаючи?? Щей, так як криві стосуються, то у них в цій точці загальна дотична, отже:
в точці дотику.
- а фіксоване.
, отже, огинає задовольняє системі рівнянь:
, тоді огинає є дискримінантний крива.
) Нехай - дискримінантний крива сімейства.
,
отже, дискримінантний крива стосується в кожній своїй точці деякої кривої сімейства, вона є огинаючої. Але в рівнянні (*) може бути
, отже, дискримінантний крива складається з особливих точок кривих сімейства.
Кривизна плоскої кривої.
- формула обчислення кривизни.
1) Параметричне завдання плоскої кривої
) - у вигляді графіка.
,,,
) - неявне завдання.
.
Підставами:
Визначення: Окружність, що проходить через три точки плоскої кривої, нескінченно що зближуються до даної точки кривої, називається дотичної колом.
Розглянемо плоску криву, - вектор головної нормалі плоскої кривої. Щодо точки М уздовж відкладемо відстань, де k - кривизна плоскої кривої в точці М, отримаємо точку С. Будуємо коло з центром в точці С і радіусом р. Це і є дотична окружність плоскої кривої, побудована в точці М. р - радіус кривизни кривої, а С - центр кривизни кривої.
Рівняння дотичної кола.
Крива задана.
рівняння дотичної кола.
Еволюта.
Визначення: Нормаль плоскої кривої називається пряма, перпендикулярна дотичній, що проходить через точку дотику і лежача в площині цієї кривої.
Нормаль плоскої кривої збігається з головною нормаллю цієї кривої, розглянутої в просторі.
.
- рівняння нормалі.
Визначення: Що огинає сімейства нормалей плоскої кривої називається еволюта.
Рівняння еволюти в натуральній параметризації.
Крива задана.
, перпендикулярний нормалі,
- радіус-вектор точок на нормалі,,
, розпишемо по координатах.
- рівняння сімейства нормалей.
Продифференцируем рівняння по s:
.
,
.
Розпишемо за координатами і отримаємо:
.
Рівняння еволюти в довільній параметризації.
Нехай крива задана.
- дотичний вектор, перпендикулярний нормалі, тобто , (*).
- рівняння сімейства нормалей.
Рівняння (*) продифференцируем по t:
.
.
параметричні рівняння еволюти.
Приклад:
.
,
.
евольвент.
...
